Ya vimos como podemos identificar una ecuación diferencial y como podemos caracterizarla, ahora viene la parte mas interesante, incluso la de resolverlas y esta es como se obtienen las ecuaciones diferenciales en procesos reales.
La descripción de la mayoría de los problemas científicos implica relaciones que
conectan entre sí los cambios en algunas variables claves; usualmente, cuanto menor
es el incremento elegido en las variables cambiantes, más general y exacta será la
descripción.
En el caso límite de cambios infinitesimales o diferenciales en las variables, obtenemos ecuaciones diferenciales que proporcionan formulaciones matemáticas precisas para los principios físicos y las leyes físicas representando la rapidez de los cambios como derivadas.
Por tanto, las ecuaciones diferenciales se usan para investigar una amplia variedad de problemas en ciencias e ingeniería, y el estudio de las ecuaciones diferenciales es.
Si deseamos hacer un descripción de como se lleva a cabo un proceso o fenómeno físico se procede a hacer un modelo matemático de éste para poder entenderlo mejor.
Como podemos ver en la figura 1, primero se identifican todas las variables que afectan a al proceso. Por supuesto, que si no se desea mucha precisión, no tiene que ser exhaustiva la recolección de variables.
Posteriormente se hacen suposiciones y aproximaciones razonables y se estudia la interdependencia entre las variables.
Figura 2.1. Modelo matemático de problemas físicos
Se hace referencia a las leyes físicas y a los principios físicos pertinentes, y el problema se formula matemáticamente, usualmente en forma de ecuación diferencial. Esta ecuación en sí misma aporta mucha información porque muestra el grado de dependencia de algunas variables con respecto a otras, y la importancia relativa de varios términos.
En el segundo paso se resuelve la ecuación diferencial mediante un método adecuado, y se obtiene la relación para la función desconocida en términos de las variables independientes.
En el segundo paso se resuelve la ecuación diferencial mediante un método adecuado, y se obtiene la relación para la función desconocida en términos de las variables independientes.
El origen de las ecuaciones diferenciales es muy variado de donde podemos encontrarlas en:
- Problemas geométricos
- Problemas físicos
- En funciones primitivas
La mayoría de los problemas científicos implica relaciones que conectan entre si cambios de algunas variables claves; frecuentemente, cuanto menor es el incremento elegido en las variables, más general y exacta será la descripción.
En el caso límite de cambios infinitesimales o diferenciales en las variables, obtenemos ecuaciones diferenciales que proporcionan formulaciones matemáticas precisas para los principios físicos y las leyes físicas representando la rapidez de los cambios como derivadas.
El estudio de los fenómenos físicos implica dos pasos importantes:
- Se identifican todas las variables que afectan a los fenómenos, se realizan suposiciones y aproximaciones razonables.
Se hacen referencia a las leyes físicas y a los principios físicos pertinentes y el problema se formula matemáticamente, usualmente en forma de ecuación diferencial - Se resuelve la ecuación diferencial mediante un método adecuado y se obtiene la relación para la función desconocida en términos de las variables independientes
Vemos algunos ejemplo de esta para poder familiarizarnos más con el tema.
PROBLEMA 1 Se define una curva por la condición de que en cada uno de sus puntos $(x, y)$ su pendiente $dy/dx$ es igual al doble de la suma de las componentes de la coordenada del punto. Expresa esto mediante una ecuación diferencial
SOLUCIÓN 1 Consideremos cualquier gráfica como la de la figura 2.2. Y supongamos que la linea roja tiene una pendiente $dy/dx$
Figura 2.2 Gráfica del problema 1
La condición del problema es que el doble ( o sea dos veces) la suma de las componentes de la ordenada del punto de tangencia, es igual a 2, estos es: $2(x + y)$ es igual a la pendiente $dy/dx$ y expresado como una relación matemática:
$$\boxed {\ \ \frac{dy}{dx} = 2(x + y) \ \ }$$
PROBLEMA 2 Una curva esta definida por la condición de que la suma de los segmentos $x$ y $y$ intersecados por sus tangentes en los ejes coordenados es siempre igual a 2. Expresa esta condición por medio de una ecuación diferencial.
SOLUCIÓN 2 El problemas nos dice que las rectas tangentes a la curva intersecan los ejes coordenado, y como se puede ver en la figura 2.3, la tangente interseca a los ejes coordenados en $x_1$ y en $y_1$. Ojo, aguas, cuidado!!! , no es $(x, y)$ ¿por qué?
Figura 2.3 Problema 2
La ecuación de la recta tangente en el punto $(x, y)$ es $y - y_1 = \frac{dy}{dx}(x - x_1)$ (recuerden sus conocimientos previos de geometría analítica).De esta ecuación obtenemos $x_1$ y $y_1$:
$$x_1 = x - y\frac{dx}{dy} \qquad y \qquad y_1 = y - x\frac{dy}{dx}$$
Y de la condición del problema nos dice que:
$$x_1 + y_1 = 2$$$$\Big( x - y\frac{dx}{dy} \Big) + \Big( y - x\frac{dy}{dx} \Big) = 2$$
Como una ecuación diferencial siempre debe de quedar en función del mismo tipo de derivada, entonces recurrimos a nuestros bastos conocimientos de algebra para llegar a:
$$\ \ \boxed {x \Big( \frac{dy}{dx} \Big)^2 + (2 - x - y)\frac{dy}{dx} + y = 0 \ \ }$$
PROBLEMA 3 Cien gramos de azúcar de caña que están en agua se convierten en dextrosa a una velocidad que es proporcional a la cantidad que aún no se ha convertido. Hallar la ecuación diferencial que expresa la velocidad de conversión después de $t$ minutos.
SOLUCIÓN 3
Primero designamos por $q$ como el número de gramos convertidos en $t$ minutos y el número de gramos aún no convertidos como $100 - q$. La velocidad de conversión estará dado por $\frac{dq}{dt}$.
Así que por las condiciones del problema:
$$\frac{dq}{dt} \ \ \alpha \ \ (100 - q)$$Pero esta expresión no nos sirve matemáticamente por lo que debemos convertir el signo de proporcionalidad $\alpha$ por el signo $=$ usando una constante de proporcionalidad $k$ de la siguiente manera:
$$\boxed {\ \ \frac{dq}{dt} = k(100 - q) \ \ }$$
PROBLEMA 4 Una partícula de masa $m$ se mueve a lo largo de una línea recta (el eje $x$ ) estando sujeta a
- Una fuerza proporcional a su desplazamiento $x$ desde un punto fijo O en su trayectoria y dirigida hacia O y
- Una fuerza de oposición proporcional a la velocidad de la partícula.
SOLUCIÓN 4
En este problema hay que tener cuidado a la hora de aplicar las restricciones.
La primera nos dice que una fuerza es proporcional a su desplazamiento y dirigida hacia O, que es el origen del sistema coordenado. así que la expresamos como:
La primera nos dice que una fuerza es proporcional a su desplazamiento y dirigida hacia O, que es el origen del sistema coordenado. así que la expresamos como:
$$F_1 \ \ \alpha \ \ x$$$$F_1 = - k_1 x $$
La segunda condición nos dice que hay una fuerza de oposición
$$F_r \ \ \alpha \ \ \frac{dx}{dt}$$$$F_r = - k_2\frac{dx}{dt}$$Y de la segunda ley de Newton sabemos que
$$F_r \ \ \alpha \ \ \frac{dx}{dt}$$$$F_r = - k_2\frac{dx}{dt}$$Y de la segunda ley de Newton sabemos que
$$\Sigma F = ma$$$$ma = m\frac{d^2x}{dt^2}$$$$F_1 + F_2 = m\frac{d^2x}{dt^2}$$$$- k_1x - k_2\frac{dx}{dt} = m\frac{d^2x}{dt^2}$$O bien
$$\boxed {\ \ m\frac{d^2x}{dt^2} + k_2\frac{dx}{dt} + k_1x = 0 \ \ }$$
PROBLEMA 5 Obtener la ecuación diferencial asociada a $y = Ax^2 + Bx + C$
SOLUCIÓN 5 Este problema es solo de derivar la función hasta no tener ninguna constante.
$$y = Ax^2 + Bx + C$$$$\frac{dy}{dx} = 2Ax + B$$$$\frac{d^2y}{dx^2} = 2A$$$$\frac{d^3y}{dx^3} = 0$$Como esta ecuación ya no tiene constantes arbitrarias, asi que la solución es:
$$\boxed {\ \ \frac{d^3x}{dx^3} = 0 \ \ }$$
PROBLEMA 6 Un reactor de cría convierte uranio 238 relativamente estable en el isotopo plutonio 239. Después de 15 años, se ha determinado que 0.043 % de la cantidad inicial $A_0$ de plutonio se ha desintegrado.
Determina la la ecuación diferencial para este proceso
SOLUCIÓN 6 Sea A(t) la cantidad de plutonio que queda al tiempo t. La solución del problema con valores iniciales es:
$$\frac {d A}{d t} \ \ \alpha \ \ A(t)$$
Nuevamente, procedemos a quitar el símbolo de proporcionalidad
$$\frac {d A}{d t} = k A(t)$$
Y así tenemos el problema de valores iniciales
$$\boxed{ \ \ \frac{dA}{dt} = kA \qquad A(0) = A_0 \ \ }$$
PROBLEMA 7 Una masa $m$ cuelga de un resorte con constante de resorte c, ver figura 2.4. Encuentra la ecuación diferencial que rige el movimiento de la masa $m$ en el resorte.
SOLUCIÓN 7 Después de que se une una masa m a un resorte, ésta alarga el resorte una cantidad s y logra una posición de equilibrio en la cual su peso W se equilibra mediante la fuerza restauradora ks.
Recuerden que el peso se define mediante W = mg, donde la masa se mide en slugs, kilogramos o gramos y la aceleración de la gravedad en el sistema inglés g ? 32 pies/s$^2$ o en el SI 9.8 m/s$^2$ o bien 980 cm /s$^2$2 , respectivamente. Como se indica en la figura 1.4 b, la condición de equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0.
Si la masa se desplaza por una cantidad x de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora del resorte es entonces k(x + s).
Suponiendo que no hay fuerzas restauradoras que actúan sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzas externas —movimiento libre— se puede igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta o resultante de la fuerza restauradora y el peso.
$$m \frac{d^2 x}{d t^2} = - k(s + x) + mg = - kx + \color {red}{mg - ks} = -ks$$
El signo negativo en indica que la fuerza restauradora del resorte actúa opuesta a la
dirección de movimiento. Además, se adopta la convención de que los desplazamientos medidos abajo de la posición de equilibrio son positivos.
PROBLEMA 8 xxx
SOLUCIÓN 8 xxxx
PROBLEMA 9 xxx
SOLUCIÓN 9 xxxx
SOLUCIÓN 5 Este problema es solo de derivar la función hasta no tener ninguna constante.
$$y = Ax^2 + Bx + C$$$$\frac{dy}{dx} = 2Ax + B$$$$\frac{d^2y}{dx^2} = 2A$$$$\frac{d^3y}{dx^3} = 0$$Como esta ecuación ya no tiene constantes arbitrarias, asi que la solución es:
$$\boxed {\ \ \frac{d^3x}{dx^3} = 0 \ \ }$$
PROBLEMA 6 Un reactor de cría convierte uranio 238 relativamente estable en el isotopo plutonio 239. Después de 15 años, se ha determinado que 0.043 % de la cantidad inicial $A_0$ de plutonio se ha desintegrado.
Determina la la ecuación diferencial para este proceso
SOLUCIÓN 6 Sea A(t) la cantidad de plutonio que queda al tiempo t. La solución del problema con valores iniciales es:
$$\frac {d A}{d t} \ \ \alpha \ \ A(t)$$
Nuevamente, procedemos a quitar el símbolo de proporcionalidad
$$\frac {d A}{d t} = k A(t)$$
Y así tenemos el problema de valores iniciales
$$\boxed{ \ \ \frac{dA}{dt} = kA \qquad A(0) = A_0 \ \ }$$
PROBLEMA 7 Una masa $m$ cuelga de un resorte con constante de resorte c, ver figura 2.4. Encuentra la ecuación diferencial que rige el movimiento de la masa $m$ en el resorte.
Figura 1.4. Sistema masa-resorte
SOLUCIÓN 7 Después de que se une una masa m a un resorte, ésta alarga el resorte una cantidad s y logra una posición de equilibrio en la cual su peso W se equilibra mediante la fuerza restauradora ks.
Recuerden que el peso se define mediante W = mg, donde la masa se mide en slugs, kilogramos o gramos y la aceleración de la gravedad en el sistema inglés g ? 32 pies/s$^2$ o en el SI 9.8 m/s$^2$ o bien 980 cm /s$^2$2 , respectivamente. Como se indica en la figura 1.4 b, la condición de equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0.
Si la masa se desplaza por una cantidad x de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora del resorte es entonces k(x + s).
Suponiendo que no hay fuerzas restauradoras que actúan sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzas externas —movimiento libre— se puede igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta o resultante de la fuerza restauradora y el peso.
$$m \frac{d^2 x}{d t^2} = - k(s + x) + mg = - kx + \color {red}{mg - ks} = -ks$$
El signo negativo en indica que la fuerza restauradora del resorte actúa opuesta a la
dirección de movimiento. Además, se adopta la convención de que los desplazamientos medidos abajo de la posición de equilibrio son positivos.
PROBLEMA 8 xxx
SOLUCIÓN 8 xxxx
PROBLEMA 9 xxx
SOLUCIÓN 9 xxxx
La solución de una ecuación diferencial es una familia de curvas o funciones que contienen tantos parámetros arbitrarios, mejor conocidos como constantes de integración, como sea el orden de la ecuación diferencial.
Es decir, la solución general de una ecuación de primer orden $F(x, y, y')$ = 0 tendrá como solución general una familia de curvas representada por $\Phi(x, y, c) = 0$, donde c es el parámetro arbitrario, tal que cada término de la familia es una solución de la ecuación diferencial. Así, al resolver una ecuación diferencial de orden $n$, es decir: $F(x, y, y', y'',...., y^{(n)}) = 0$ esperamos obtener una familia de soluciones $\Phi(x,y, c_{1}, c_{2}, ...., c_{i}) = 0$, donde $c_{i} (i = 1, 2, 3, ....., n)$ son parámetros arbitrarios.
La solución de una ecuación diferencial que no contiene parámetros arbitrarios se le llama $solución$ $particular$. Una manera de obtener una solución particular, es elegir valores específicos del parámetro o parámetros en una familia de soluciones
En el caso de que se analice un problema real, estos parámetros se obtienen de las
condiciones iniciales en que se encuentra el sistema. A este tipo de problema se le conoce como $problema$ $de$ $Cauchy$.
SOLUCIÓN TRIVIAL
Una solución de una ecuación diferencial que es igual a cero en un intervalo $I$ se le conoce como $Solución$ $trivial$.
Hay ocasiones en que una ecuación diferencial tiene una solución que no puede obtenerse dando valores específicos a los parámetros en una familia de soluciones, a esta solución se le conoce como $solución$ $singular$.
La ecuación diferencial
$$y' = x\sqrt{(y)}\qquad \qquad \qquad (1)$$
Tiene como solución general a$$y = (x^2/4 + c)^2 \qquad \qquad \qquad (2)$$
Pero, también tiene una solución trivial
$$y = 0$$
Ambas en $(-\infty, \infty )$, pero esta última es una solución singular, ya que esta no se puede obtener a partir de (2), que es la solución general, dándole algún valor específico a $c$.
Nota. Cuando se tiene una solución general de una ecuación diferencial, que representa una familia de curvas. De ella se pueden obtener soluciones particulares dándole un valor cualquiera, a la constante.
EJEMPLO 1
Dada la función
$$y(x) = ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^x$$
es solución de la ecuación diferencial de
$$y' + 2y = e^x$$
SOLUCIÓN 1
Para poder comprobar que una solución corresponde a una ecuación diferencial, lo que se hace es sustituir la solución y sus derivadas en la ecuación diferencial y si al simplificar da una identidad entonces la solución sí corresponde a la ecuación diferencial.
Bien, pues entonces haremos eso y procedemos a encontrar sus derivada:$$y(x) = ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^x \qquad \qquad \qquad y´(x) = -2ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^x $$
ahora sustituimos en la ecuación diferencial:
$$\Big( -2ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^x\Big) + 2\Big(c^{-2x} + \frac{1}{3}e^x\Big) =? \, \, e^x$$
Ahora simplificamos
$$\frac{1}{3}e^x + \frac{2}{3}e^x = ?\,\, e^x$$$$e^x \equiv\, e^x$$
EJEMPLO 2
Dada la función $y(x) = c_{1}x + c_{2} xLn(x) + 2x^3$ verificar que ésta es la solución general de la ecuación diferencial $x^2y'' - xy' + y = 8x^3$
SOLUCIÓN 2
obtenemos la primera y segunda derivada de la solución general:
$$y' = c_{1} +c_{2}x\frac{1}{x} + c_{2}Ln(x) + 6x^2 $$
$$y' = c_{1} + c_{2} + c_{2}Ln(x) + 6x^2$$
$$y'' = \frac{c_{2}}{x} + 12x$$
Ahora sustituimos en al ecuación diferencial:
$$x^2 \Big(\frac{c_{2}}{x} + 12x \Big) - x \Big( c_{1} + c_{2} + c_{2}Ln(x) + 6x^2\Big) + \Big( c_{1}x + c_{2}xLn(x) + 2x^3\Big) =?\, \, 8x^3$$
$$c_{2}x + 12x^3 - c_{1}x - c_{2}x - c_{2}xLn(x) - 6x^3 +c_{1}x + c_{2}xLn(x) + 2x^3 =? \, \, 8x^3$$
$$12x^3 - 6x^3 + 2x^3 =?\, \, 8x^3$$
$$8x^3 \equiv \, \, 8x^3$$
EJEMPLO 3
Dada la familia de curvas
$$x^2 + y^2 - cx = 0 \quad c \in \Re \qquad \qquad \qquad (5)$$
Hallar su correspondiente ecuación diferencial.
SOLUCIÓN 3
Si consideramos a $y$ como una función de $x$, entonces lo que hay que hacer es simplemente derivamos la ecuación de familia de curvas de manera implícita:
$$2x + 2y\frac{dy}{dx} - c = 0 \qquad \qquad \qquad (6)$$
Ahora despejamos $c$ de la ecuación de (5):
$$c = \frac{x^2 + y^2}{x}$$
Y sustituimos este resultado en (6)
$$2x + 2y\frac{dy}{dx} - \frac{x^2 + y^2}{x} = 0$$
Ahora multiplicamos la ecuación anterior por $x$
$$2x^2 + 2xy\frac{dy}{dx} - x^2 - y^2 = 0$$
Y ahora simplificamos para tener el resultado final
$$\boxed{\quad 2xy\frac{dy}{dx} + x^2 - y^2 = 0 \quad}$$
EJERCICIO 1
Hallar la ecuación diferencial que representa la familia de curvas $$x -y - ce ^{\frac{x}{y - x}}$$
EJERCICIO 2
Hallar la ecuación diferencial que describe una familia de parábolas, las cuales pasan por el origen de coordenadas y su eje de simetría es de las ordenadas.
FAMILIA DE SOLUCIONES
Les comentaba al inicio que debido a la diversidad de literatura en cualquier área, se presta para que haya una anarquía a la hora de usar las técnicas de resolución de problemas y no se diga a la hora de la designación de variables o el uso de operadores,
En algunos libros, una solución de una ecuación diferencial $\phi$ es algunas veces llamada integral de la ecuación y su gráfica se llama curva integral. Cuando obtenemos una antiderivada o una integral indefinida en cálculo, usamos una solo constante $c$ de integración. De modo similar, cuando resolvemos una ecuación diferencial de primer orden $F(x, y, y') = 0$, normalmente obtenemos una solución que contiene una sola solución que contiene una sola constante arbitraria o parámetro $c$.
Una solución que contiene una constante arbitraria representa un conjunto $G(x, y, c) = 0$ de soluciones llamado familia de soluciones uniparamétricas. Cuando resolvemos una ecuación diferencial de orden $n$, $F(x, y, y', ... , y^{(n)} ) = 0$, buscamos una familia de soluciones n-paramétricas $G(x, y, c_{1}, c_{2}, .... , c_{n}) = 0$.
Por ejemplo, la familia uniparamétrica $y = cx - x cosx$ es una solución explícita de la ecuación lineal de primer orden $xy' - y = x^2sen x$ en el intervalo $(-\infty, \infty)$
Fig. 1. Algunas soluciones de $xy' - y = x^2 sen x$
TAREA # 2
VERIFICACIÓN DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Comprueba que las soluciones dadas corresponden a las ecuaciones diferenciales
1. $\quad e^{\textbf - y} - cx = 1 \ \ \Longleftrightarrow \ \ xy' + 1 = e^y$
2. $\quad \frac{y^2}{2} + y + Ln|y - 1| = -\frac{1}{x} + c \ \ \Longleftrightarrow \ \ x^2y^2y' + 1 = y$
3. $\quad y = \frac{c}{cos x}\ \ \Longleftrightarrow \ \ y' - y tg x = 0$
4. $\quad y = Ln(c + e^x) \ \ \Longleftrightarrow \ \ y' = e^{x -y}$
5. $\quad y = \sqrt{x^2 - cx} \ \ \Longleftrightarrow \ \ (x^2 + y^2)dx = 3xydy$
6. $\quad x = ye^{cy + 1}\ \ \Longleftrightarrow \ \ y' = \frac{y}{x(Ln x - Ln y)}$
7. $\quad y = x \sqrt{1 - x^2}\ \ \Longleftrightarrow \ \ yy' = x - 2x^3$
8. $\quad y^2 = -cx^2 - x \ \ \Longleftrightarrow \ \ (x + 2y^2)dx - 2xydy = 0$
9. $\quad x sen y + x^2y = c \ \ \Longleftrightarrow \ \ (sen y + 2xy)dx + x(cos y + x^2)dy = 0$
10. $\quad xy^2 = 1 + cy \ \ \Longleftrightarrow \ \ y^3dx + (xy^2 + 1)dy = 1$
11. $\qquad y = \frac{sen x}{x} \ \ \Longleftrightarrow \ \ xy' + y = cox x$
12. $\qquad y = e^{arcsen \ Cx } \ \ \Longleftrightarrow \ \ xy' = y\ tan (Ln y) $
13. $\qquad y = e^x \int_0^x e^{t^2} dt + Ce^x \ \ \Longleftrightarrow \ \ y' - y = e^{x + x^2}$
Comprueba que el par de funciones indicado es una solución del sistema de ecuaciones diferenciales.
14. $\qquad \frac{dx}{dt} = x + 3y; \qquad \frac{dy}{dt} = 5x + 3y$
$\qquad x = e^{\ \textbf - 2t} + 3e^{6t}; \qquad y = - e^{ \ \textbf - 2t} + 5e^{6t}$
15. $\qquad \frac{d^2x}{dt^2} = 4y + e^t; \qquad \frac{d^2y}{dt^2} = 4x - e^t$
$\qquad x = cos 2t + sen 2t + \frac{1}{5} e^t; \qquad y = - cos 2t - sen 2t - \frac{1}{5} e^t$
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