Problemas de valor inicial y valores en la frontera

Con frecuencia estamos interesados en problemas en los que buscamos una solución $y(x)$  de una ecuación diferencial tal que $y(x)$  satisface condiciones pre establecidas, es decir, condiciones impuestas sobre una $y(x)$ desconocida o sus derivadas.

En algún intervalo $I$ que contiene a $x_{0}$ el problema
$\qquad \qquad \qquad$ Resolver: $\qquad \qquad \frac{d^n y}{dx^n} = f(x, y, y', .... y^{(n - a)})$
$\qquad \qquad \qquad$ Sujeto  a: $\qquad \qquad  y(x_{0}) = y_{0}, \ y'(x_{0}) = y_{1}. .... , y^{(n - 1)} = y_{n -1}$

Donde   $y_{0}$, $y_{1}$, $y_{2}$, ..... $y_{n - 1}$,  son constantes reales arbitrarias dadas,  se llama  problema con valores iniciales (PVI).
Los valores de $y(x)$ y de sus primeras n - 1 derivadas en un solo punto $x_{0}$:    $y(x_{0}) = y_{0}$,  $y'_{x_{0}} = y_{1}$, ... , $y^{(n - 1)} = y_{n - 1}$  se llaman condiciones iniciales.

EJEMPLO 1    $x = c_{1} cos 4t + c_{2}$sen 4t es una familia de soluciones de dos parámetros de $x'' + 16 x = 0$. determina una solución del problema con valores iniciaeles,
$$x'' + 16 x = 0, \qquad x \Big(\frac {\pi}{2} \Big) = - 2, \qquad x' \Big(\frac{\pi}{2} \Big) = 1$$
SOLUCIÓN 1   Como tenemos dos constantes en la solución es de esperarse que necesitamos dos condiciones.  Primero aplicamos $(x/2) = - 2$ en la familia de soluciones:
$$- 2 = C_{1} cos 4(\pi / 2)  + C_{2} sen 4(\pi / 2) = C_{1} cos 2\pi + C_{2}sen 2 \pi$$ $$- 2 = C_{1}$$
Ahora bien, tenemos otra condición inicial: $x'\Big( \frac{\pi}{2}\Big)$, pero no podemos usar la ecuación diferencial ya que ésta tiene una derivada de segundo orden y la solución no tiene derivadas, entonces, ¿qué tenemos que hacer?, pues, solo nos queda derivar la solución para poder la derivada requerida
$$x = c_{1} cos 4t + c_{2} sen 4t$$ $$x' = - 4 C_{1} sen 4t + 4 C_{2} cos 4t$$
Ahora evaluamos con $x'(\pi /2) = 1$
$1 =  - 4 C_{1} sen 4(\pi / 2) + 4 C_{2} cos 4 (\pi / 2)$
$1 =  - 4 C_{1} sen 2 \pi  + 4 C_{2} cos 2 \pi $
$1 = 4 C_{2}$
$C_{2} = 1/4$
Así que una solución de la ecuación diferencial es
$$\boxed { \color {red} {x = - 2 cos 4t +  \frac{1}{4} sen 4t } }$$

PROBLEMAS
$y = C_{1} e^x  + C_{2} e^{-x}$  es una familia de solución de los parámetros de la ED de segundo orden  $y'' - y  = 0$.  Determina una solución del PVI  de segundo orden que consiste en esta ecuación diferencial y las condiciones iniciales dadas.

1.   $y(0) = 1$,  $y' (0) = 2$
2.   $y(1)  =  0$,   $y'(1) = e$
3.   $y(- 1) = 5$,  $ y'(- 1) = -5$
4.   $y(0) = 0$,    $y'(0) = 0$