Continuación.......
Para el caso de raíces repetidas $r$ veces, cuando tenemos una función racional de la forma
$$F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{P(s)}{(s - s_j)^r} \qquad \qquad (2)$$
Tenemos una variante de este método. La fórmula usada por el autor de nuestro libro de clase es la siguiente:
$$A_{jn} = \frac{1}{(r - n)!)}\frac{d^{r - n}}{ds^{r - n}}\Bigg[ \frac{P(s)}{Q(s)}(s - s_j)^r \Bigg]_ {s = s_j} \qquad \qquad (3)$$
Pero les comentaba algunas contras de esta formula, ya que es demasiado críptica, nada explícita y hasta redundante, por lo que les propongo usar otra forma, considerando que lo que nos interesa es encontrar los coeficientes de (4)
Antes de ver esa forma, debemos de desarrollar la función a fracciones parciales:
$$F(s) = \frac{P(s)}{(s - a)^r } = \frac{A_1}{s - a} + \frac{A_2}{(s - a)^2} \cdots \frac{A_r}{(s - a)^r}$$
Ahora, lo que haremos es encontrar esos coeficientes de la siguiente manera
$A_r = \varphi (a)\qquad \qquad \qquad \qquad \text {Donde}\ \ \ \varphi (s) = P(s)$
$A_{r - 1} = \frac{\varphi ' (a)}{1!}$
$A_{r - 1} = \frac{\varphi '' (a)}{2!}$
$A_{r - 1} = \frac{\varphi ''' (a)}{3!}$
...................
...................
$A_2 = \frac{\varphi^{(r - 2)} (a)}{(r - 2)!}$
$A_1 = \frac{\varphi^{(r - 1)} (a)}{(r - 1)!}$
Podrán decir que es más difícil recordar tantas formulas, de hecho, eso mismo es lo que la hace más fácil de recordar. Veamos un ejemplo
EJEMPLO 2
Encontrar la transformada inversa de Laplace de
$$F(s) = \frac{3s^2 - 7s + 5 }{(s + 2)^4}$$
SOLUCIÓN 2
Lo primero que hacemos, es mostrar el desarrollo de esta función en fracciones parciales
$$F(s) = \frac{3s^2 - 7s + 5 }{(s + 2)^4} = \frac{A_1}{s + 2} + \frac{A_2}{(s + 2)^2} + \frac{A_3}{(s + 2)^3} + \frac{A_4}{(s + 2)^4}$$
Ahora, encontramos la función $\varphi(s)$ y sus derivadas:
$\varphi(s) \ \ \ = 3s^2 - 7s + 5$
$\varphi ' (s) \ \ = 6s - 7$
$\varphi '' (s) \ = 6$
$\varphi ''' (s) = 0$
Observen que como son tantas derivadas como las raíces repetidas, entonces, necesitaremos $r - 1$ derivadas de la función $\varphi$
Ahora, vamos a obtener el valor de los coeficientes $A_i$ sabiendo que la raíz $a = - 2$
$A_4 = \varphi(- 2) = 3(- 2)^2 - 7(- 2) + 5 = \color {blue}{31} $
$A_3 = \varphi ' (- 2) = 6(- 2) - 7 = \color {blue}{- 19}$
$A_2 = \varphi '' (- 2) = \color {blue}{6}$
$A_1 = \color {blue}{0}$
Por lo que nuestra función desarrollada en fracciones parciales es:
$$F(s) = \frac{3s^2 - 7s + 5}{(s + 2)^4} = \frac{0}{s + 2} + \frac{6}{(s + 2)^2} + \frac{- 19}{(s + 2)^3} + \frac{31}{(s + 2)^4}$$
Y como se puede apreciar, ya es más fácil encontrar la transformada inversa
$$\mathcal {L}^{\textbf - 1}\{ F(s) \} = \mathcal {L}^{\textbf - 1} \Bigg\{ \frac{3s^2 - 7s + 5}{(s + 2)^4} \Bigg\} = \mathcal {L}^{\textbf - 1} \Bigg \{ \frac{6}{(s + 2)^2} - \frac{19}{(s + 2)^3} + \frac{31}{(s + 2)^4} \Bigg\} =$$$$= 6\mathcal {L}^{\textbf - 1} \Bigg \{ \frac{1}{(s + 2)^2} \Bigg\} - 19\mathcal {L}^{\textbf - 1} \Bigg\{ \frac{1}{(s + 2)^3} \Bigg\} + 31\mathcal {L}^{\textbf - 1} \Bigg\{ \frac{1}{(s + 2)^4} \Bigg\} $$
De donde se observa que es la función exponencial $e^{at}$ desplazada a la izquierda 2 unidades, esto es, considerando el inverso del teorema 1 de desplazamiento en en eje $s$
Teorema 1 de desplazamiento en el eje s: $\qquad \mathcal {L}\{ e^{at}f(t) \} = F(s - a)$
Inverso del Teorema 1 de desplazamiento: $\qquad \color {blue} { \mathcal {L}^{\textbf - 1}\{ F( s - a \} = e^{at}f(t) } $
Para las tres funciones, la función es $t^n$ desplazada 2 unidades a la izquierda, así que, usando el inverso del teorema 1 de desplazamiento y poniéndo las fracciones de manera más adecuada para saber que hay que agregar para completar:
$$F(s) = 6\mathcal {L}^{\textbf - 1} \Bigg \{ \frac{1!}{(s + 2)^{1 + 1}} \Bigg\} - \frac{19}{2!}\mathcal {L}^{\textbf - 1} \Bigg\{ \frac{2!}{(s + 2)^{2 + 1}} \Bigg\} + \frac{31}{3!}\mathcal {L}^{\textbf - 1} \Bigg\{ \frac{3!}{(s + 2)^{3 + 1}} \Bigg\} $$
Recuerden que
$$\mathcal {L}\{ t^n \} = \frac{n!}{s^{n + 1}}$$
$$\boxed{ \qquad \qquad \color {blue} { f(t) = \mathcal {L}^{\textbf - 1}\{ F(s) \} = 6te^{\textbf - 2t} - \frac{19}{2}t^2 e^{\textbf - 2t} + \frac{31}{6}t^3e^{\textbf - 2t} } \qquad \qquad }$$
EJEMPLO 3
Encontrar la transformada inversa de
$$F(s) = \frac{2s + 5}{(s - 3)^2}$$
SOLUCIÓN 3
Expresamos en desarrollo de fracciones parciales la función
$$F(s) = \frac{2s + 5}{(s - 3)^2} = \frac{A_1}{s - 3} + \frac{A_2}{(s - 3)^2}$$
Identificamos $\varphi (s)$ y sus derivadas, así como la raíz repetida
$\varphi(s) = 2s + 5$
$\varphi ' (s) = 2$
$s - 3 = 0; o \quad s = 3$
Y calculamos los coeficientes $A_i$
$A_2 = \varphi (3) = 2(3) + 5 = \color {blue} {11}$
$A_1 = \varphi ' (3) = \color {blue} {2}$
Y ahora expresamos $F(s)$ como un desarrollo de fracciones parciales
$$F(s) = \frac{11}{s - 3} + \frac{2}{(s - 3)^2}$$
Y calculamos su transformada de Laplace inversa
$$\mathcal {L}^{\textbf - 1} \{ F(s) \} = 11\mathcal {L}^{\textbf - 1} \Bigg\{ \frac{1}{s - 3} \Bigg\} + 2\mathcal {L}^{\textbf - 1} \Bigg\{ \frac{1}{(s - 3)^2} \Bigg\}$$$$= 11\mathcal {L}^{\textbf - 1} \Bigg\{ \frac{1}{s - 3} \Bigg\} + 2\mathcal {L}^{\textbf - 1} \Bigg\{ \frac{1}{(s - 3)^{1 +1}} \Bigg\}$$$$\boxed { \qquad \qquad \color {blue} { f(t) = \mathcal {L}^{\textbf - 1} \{ F(s) \} = 11e^{3t} + 2te^{3t} } \qquad \qquad }$$
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