Función Gamma

FUNCIÓN GAMMA

Una función muy útil en ingeniería es la función Gamma, la cual está definida de la siguiente manera:
$$\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}t^{x - 1}e^{-t}dt$$
Donde la convergencia de la integral requiere que $x - 1 > -1$  o dicho de otra manera: $x > 0$.
Es importante notar que la definición indica que x debe ser mayor de cero pero no necesariamente tiene que ser un número entero!!!!

Hay una ecuación de recurrencia, que está dada por:
$$\Gamma(x + 1) = x \Gamma(x) \qquad \qquad \qquad (1)$$
Que se puede obtener usando la definición
$$\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}t^{x - 1}e^{-t}dt$$
Por tanto
$$\Gamma(x + 1) = \int_{0}^{\infty}t^{(x + 1)- 1}e^{-t}dt = \int_{0}^{\infty}t^x e^{-t}dt = $$
Resolviendo por partes esta integral tenemos
$\,\,u = t^x\qquad dv = e^{-t}dt$
$du = x t^{x - 1}\quad v = - e^{-t}$
$$\Gamma(x + 1) = \int_{0}^{\infty}t^x e^{-t}dt = - t^x e^{-t}\bigg|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}(-x t^{x - 1})e^{-t}dt = $$
$$ = 0 - \int_{0}^{\infty}(-x t^{x - 1})e^{-t}dt = x\int_{0}^{\infty} t^{x - 1}e^{-t}dt = x\Gamma(x)$$
$$\Gamma(x + 1) = x \Gamma(x)$$Que es la ecuación de recurrencia (1)

Ahora bien, si vemos $x = 1$, $\Gamma(1) = \int_{0}^{\infty}e^{-t}dt = 1$, por tanto, de la ecuación de recurrencia se tiene:
$\Gamma(2) = \Gamma(1 + 1) = 1 \,\Gamma(1) = 1$
$\Gamma(3) = \Gamma(2 + 1) = 2 \,\Gamma(2) = 2 \cdot 1$
$\Gamma(4) = \Gamma(3 + 1) = 3 \,\Gamma(3) = 3\cdot 2 \cdot 1$
$\Gamma(5) = \Gamma(4 + 1) = 4 \,\Gamma(4) = 4 \cdot 3 \cdot \cdot 2 \cdot 1$

Observemos se pone  $\Gamma(n) =  \Gamma((n-1) + 1)$ Para poder usar la función de recurrencia de la función Gamma
si se observa el patrón, se puede ver que:
$$\boxed{\ \ \ \Gamma(n + 1) = n!\ \ \ }$$

Una relación muy importante pero no demostraré aquí es: $\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$
Usando lo que ya se ha visto:

EJEMPLO 1
Evalúa $\Gamma(- \frac{1}{2})$

SOLUCIÓN  1   Usando la ecuación de recurrencia $\Gamma(x + 1) = x \Gamma(x)$  y $x = -\frac{1}{2}$
$$\Gamma\bigg(- \frac{1}{2} + 1 \bigg) = - \frac{1}{2}\Gamma\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)$$$$\Gamma\bigg(\frac{1}{2}\bigg)= - \frac{1}{2} \Gamma\bigg(- \frac{1}{2}\bigg)$$
$$ \sqrt{\pi} = - \frac{1}{2} \Gamma\bigg(- \frac{1}{2}\bigg)$$
$$ \boxed{\quad \Gamma\bigg(- \frac{1}{2}\bigg) = -2 \sqrt{\pi} \quad }$$

Bien, vamos a ver otro problema de transformada de Laplace

EJEMPLO 2
Evalúa $L\{ t^{1/2} \}$

SOLUCIÓN  2    Aplicando la definición de transformada:
$$L\{t^{1/2}\} = \int_{0}^{\infty} t^{1/2}e^{-st}dt$$
Y si observamos la integral nos recordará la definición de la función Gamma.Así que si hacemos $\frac{1}{2} = x - 1$  entonces $x = \frac{3}{2}$, por lo que:

$$\Gamma\bigg(\frac{3}{2}  \bigg) = \int_{0}^{\infty}t^{(\frac{3}{2} - 1)}e^{-st}dt$$Esta función Gamma la podemos resolver, por lo que vimos arriba y usando unas fórmulas o incluso resolviendo la integral. Pero veremos las dos primeras formas
1.   Usando la ecuación de recurrencia (1):
$$\Gamma\bigg(\frac{1}{2} + 1\bigg) = \frac{1}{2} \Gamma\bigg(\frac{1}{2} \bigg)$$$$\Gamma\bigg( \frac{3}{2}\bigg) =\frac{1}{2}\sqrt{\pi}$$
Por tanto
$$\boxed{ \quad L\{ t^{1/2}\} = \Gamma\bigg(\frac{3}{2}\bigg) = \frac{1}{2}\sqrt{\pi} \quad}$$
Sí, así de sencillo!!

2.  Usando la formula que propone el autor del libro que llevamos de referencia:
$$\Gamma\big(m + \frac{1}{2} \big) = \frac{(2m)!}{m!\,2^{2m}}\Gamma\big( \frac{1}{2}\big)$$   
Como queremos que $\Gamma\big(m + \frac{1}{2} \big) = \Gamma\big( \frac{3}{2} \big)$, entonces $m =1$, por tanto
$$\Gamma\big(1 + \frac{1}{2} \big) = \frac{(2(1))!}{1!\,2^{2(1)}}\Gamma\big( \frac{1}{2}\big) = \frac{2}{4}\sqrt{\pi} = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$$

Que nos da el mismo resultado obtenido anteriormente!!!


EJERCICIOS
Evalúa
1.  $\Gamma(5)$
2.  $\Gamma(7)$
3.  $\Gamma(- 3/2)$
4.  $\Gamma(- 5/2)$
5.  Usa la definición de la función Gamma y el hecho de que $\Gamma(6/5) = 0.92$ para evaluar
$$\int_{0}^{\infty}x^5 e^{-x^5}dx$$
6.  Usa la definición de la función Gamma y el hecho de que $\Gamma(5/3) = 0.89$ para evaluar

$$\int_{0}^{\infty}x^4 e^{-x^4}dx$$
7.   Evalúa $$\int_{0}^{1}x^3 \Bigg(ln{\frac{1}{x}} \Bigg)^3dx$$