A la ecuación de la forma
$$\frac{dy}{dx} + P(x) y = f(x)\ y^n\qquad \qquad (1)$$
Con $n \not= 0, 1$, ya que en el caso de $n = 0$ tenemos una ecuación diferencial lineal de primer orden y si $n = 1$ se tiene una ecuación lineal homogénea ya que, $$\frac{dy}{dx} + P(x) y = f(x)\ y $$$$\frac{dy}{dx} + [ P(x) - f(x) ]\ y = 0 $$.
A la ecuación (1) se le conoce como la Ecuación de Bernouolli, donde, como siempre, $P(x)$ y $f(x)$
Para empezar hacer esta ecuación lineal, procederemos a dividir la ecuación por $y^{\textbf - n}$. ¿ La razón ?, recordemos que para que nuestra función sea lineal, debemos tener, entre otras cosas, que el lado de la ecuación sea una función que dependa exclusivamente de $x$ por lo que tenemos que pasar al lado contrario de la igualdad $y^n$
$$y^{\textbf - 1}\frac{dy}{dx} + P(x) y^{1\ \textbf - \ n} = f(x)\qquad \qquad \qquad (2)$$Ya tenemos en el lado derecho de la ecuación diferencial una función que depende de solo la variable independiente $x$, pero, el factor de $P(x)$ debe tener la variable dependiente con exponente 1, pero el que tiene es $1 - n$ por lo que tentativamente, podemos resolver en la mayoría de los casos esta situación con un cambio de variable. Así que el cambio será el siguiente
$$z = y^{1 - n}$$
Y necesitaremos obviamente su derivada
$$\frac{dz}{dx} = (1 - n)\ y^{\ \textbf - 1}\ \frac{dy}{dx}$$De donde
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(1\ \textbf - \ n)\ y^{\ \textbf - n }}\frac{dz}{dx}$$
Sustituyendo estos resultado en (2) tendremos
$$y^{\ \textbf - 1}\Big( \frac{1}{(1\ \textbf - \ n)\ y^{\ \textbf - n }}\frac{dz}{dx} \Big) + P(x)\ z = f(x)$$Y como podemos observar, ya se tiene una ecuación diferencial lineal que puede ser resuelta por alguno de los métodos que hemos visto hasta este momento$$\boxed{ \ \ \ \frac{dz}{dx} + (1\ \textbf - \ n)\ P(x)\ z = (1\ \textbf - \ n)\ f(x)\ \ \ }$$
EJEMPLO 1 Hallar la solución general de la ecuación diferencial
$$y' + 2y = e^x\ y^2$$
SOLUCIÓN 1
Empezamos dividiendo la ecuación diferencial por $y^2$ 0 multiplicando por $y^{\textbf - 2}$
$$y^{\textbf - 2}\ y' + 2\ y\ y^{\textbf - 2} = e ^x\ y^2\ y^{\textbf - 2}$$$$y^{\textbf - 2}\ y' + 2\ y^{\textbf - 1} = e ^x \qquad \qquad \qquad (3)$$
Observando la ecuación anterior, vemos que el cambio de variable será $$z(x) = y^{\textbf - 1}(x)$$ y derivando $$\frac{dz}{dx} = \textbf -\ y^{\textbf - 2}\ \frac{dy}{dx}$$de donde$$\frac{dy}{dx} = \textbf -\ \frac{1}{y^{\textbf - 2}}\ \frac{dz}{dx}$$ Y sustituyendo estos resultados en (3)
$$y^{\textbf - 2}\ \Big( \textbf -\ \frac{1}{y^{\textbf - 2}}\ \frac{dz}{dx} \Big) + 2\ z = e ^x $$$$\frac{dz}{dx} \ \textbf -\ 2\ z = \textbf -\ e ^x \qquad \qquad \qquad (4)$$
Resolveremos esta ecuación usando el FI, considerando que $P(x) = - 2$
$$\mu (x) = e^{\int (\textbf - 2) dx } = e^{\textbf - 2x}$$Ahora multiplicamos (4) por $e^{\textbf - 2x}$
$$e^{\textbf - 2x}\ \frac{dz}{dx} \ \ \textbf -\ \ e^{\textbf - 2x}\ 2\ z = \textbf -\ e^{\textbf - 2x}\ e ^x$$$$e^{\textbf - 2x}\ dz\ \textbf -\ \ e^{\textbf - 2x}\ 2\ z\ dx = \textbf -\ e^{\textbf - x}\ dx$$Y podemos comprobar que el diferencial total es
$$d(z\ e^{\textbf - 2x}) = \textbf -\ e^{\textbf - x}\ dx$$E integrando tenemos$$\int d(z\ e^{\textbf - 2x}) = \int (\textbf -\ e^{\ \textbf -\ x})\ dx + c$$$$z\ e^{\textbf - 2x} = e^{\ \textbf -\ x} + c$$Y regresando a la variable original; $z = y^{\ \textbf -\ 1} = \frac{1}{y}$
$$\frac{1}{y}\ e^{\textbf - 2x} = e^{\ \textbf -\ x} + c$$Y multiplicando la igualdad por $e^{2x}$
$$\frac{1}{y}\ e^{\textbf - 2x}\ e^{2x} = e^{\ \textbf -\ x}\ e^{2x} + c\ e^{2x}$$$$\frac{1}{y} = e^x + c\ e^{2x}$$$$\boxed{\ \ \ 1 = y(\ e^x + c\ e^{2x}\ ) \ \ \ }$$
TAREA 6 Para del jueves 23 de febrero del 2018 para el 27 de febrero del 2018
ECUACIONES DE BERNOULLI
Resolver los siguiente problemas
1. $2y' - \frac{x}{y} = \frac{xy}{x^2\ -\ 1}$
2. $(2x^2yLn|y| - x)y' = y$
3. $y' - \frac{2xy}{x^2\ + \ 1} - \frac{4\sqrt{y}}{\sqrt{x^2 \ + \ 1}}\ arctg(x) = 0$
4. $y' - \frac{y}{x - 1} - \frac{y^2}{x - 1} = 0$
5. $ydx + [x\ + \ (xy)^2 ]dy = 0$
6. $2\ sen x \cdot y' + y\ cos x = y^3 (x\ cos x - sen x)$
7. $y' = \frac{1}{x\ sen y\ +\ 2\ sen 2y}$
Muy bonito estas clases, felicitaciones. La solución de la tarea 6 sería posible encontrarlas, para verificar mi procedimiento, gracias.
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