Una ecuación diferencial lineal no homogénea de e-nésimo orden tiene la forma
$$a_{n}(x) \frac{d^{n}y}{dx^{n}}\ +\ a_{n\ -\ 1}(x) \frac{d^{n\ -\ 1}y}{dx^{n\ -\ 1}}\ +\ \cdots + a_{1}(x) \frac{dy}{dx}\ +\ a_{0}(x)y\ =\ g(x)$$
De esta ecuación podemos encontrar que la ecuación diferencial lineal de primer orden es
$$a_{1}(x) \frac{dy}{dx}\ +\ a_{0}(x)y\ =\ g(x)$$Como es obvio que $a_{1} \not= 0$, podemos expresar la anterior ecuación como
$$\frac{dy}{dx}\ +\ P(x)y\ =\ f(x)\qquad \qquad \qquad (1)$$Donde$P(x) = \frac{a_0}{a_1}\qquad y \qquad f(x) = \frac{g(x)}{a_1}$
Vamos a resolver esta ecuación usando dos métodos
Método I: VARIACIÓN DE PARÁMETROS
La solución por este método consiste en resolver la ecuación en dos partes, una encontrar la solución homogénea y otra la solución no homogénea.
Sí, ya sé, se estarán preguntando: ¿Para que la resolvemos en dos partes si la segunda vamos a resolver la ecuación diferencial no homogénea?
Así es, en efecto, pero esa solución se basará en la solución homogénea $\textbf y _h$ y la solución
no homogénea que le llamaremos solución particular $\textbf y _p$. Empecemos
a) Considerar la ecuación homogénea y resolverla por el método de separación de variables
$$\frac{dy}{dx}\ +\ P(x)y\ =\ 0$$La cual separamos por variables e integramos
$$\int \frac{dy}{y} = - \int P(x)\ dx + C_1$$$$Ln| y_h | = -\int P(x) dx + C_1 $$$$y_h = Ce^{\textbf - \int P(x) dx}$$
b) Ahora vamos a definir otra solución que llamaremos, solución particular $\textbf y _p$.
Esta solución estará basada en la solución homogénea Para esto consideraremos a esta solución de la siguiente forma$$y_p = C(x) e^{\textbf - \int P(x) dx}\qquad \qquad \qquad (2)$$Sí, también lo sé, estarán diciendo, a este ya le afecto estar pegado mucho a los marcadores para pintarrón, es la misma solución homogénea!!!!, Se parece, pero, si se dieron cuenta, la constante no es solo una número real, es ..... una función que depende de la variable independiente.
Bueno, pues derivamos a la nueva solución $y_p$
$$\frac{d y_p}{dx} = C(x) \Big[- P(x) e^{- \int P(x) dx} \Big] + \Big[ \frac{d C(x)}{dx} \Big] e^{\textbf -\int P(x) dx} $$
Recordando que lo que esta entre corchetes ( o aveces entre paréntesis) es lo que estamos derivando, Estos resultados los sustituimos en (1)
$$C(x) \Big[- P(x) e^{\textbf - \int P(x) dx} \Big] + \Big[ \frac{d C(x)}{dx} \Big] e^{\textbf -\int P(x) dx} + P(x) C(x) \Big[- P(x) e^{\textbf - \int P(x) dx} \Big] = f(x)$$Observando que el primero y tercer término del lado izquierdo de la igualdad son los mismo, tendremos ahora
$$ \frac{d C(x)}{dx}\ e^{\textbf -\int P(x) dx} = f(x)$$De donde tenemos$$C(x) = \int f(x) e^{P(x) dx}dx$$Ahora sustituimos este resultado en (2) y tendremos nuestra solución particular
$$y_p = C(x) e^{\textbf -\int P(x) dx}dx = e^{\textbf - \int P(x) dx} \int e^{\int P(x)dx} f(x) dx$$$$y_p = e^{\textbf - \int P(x) dx} \int e^{\int P(x)dx} f(x) dx$$Bien, ahora ya tenemos las dos soluciones y con las dos podemos formar la ecuación general la ecuación diferencial (1)
$$ y = y_h + y_p$$$$\boxed{\ \ \ y = Ce^{\textbf - \int P(x) dx}\ +\ e^{\textbf - \int P(x) dx} \int e^{\int P(x)dx} f(x) dx \qquad \qquad (3)\ \ \ }$$
Veamos algunos ejemplos
EJEMPLO 1 Resuelve la siguiente ecuación diferencial $$y' = \frac{y}{3x - y^2}$$
SOLUCIÓN 1 Quedamos que primeramente debemos de poner una ecuación diferencial, en un formato tal que, podamos identificar su manera de solución, así que eso haremos, por lo que se puede observar que no podremos resolver la ecuación como una derivada de y: $\frac{dy}{dx}$ sin embargo, si la ponemos como $\frac{dx}{dy}$ si se puede dar un formato adecuado
$$\frac{dx}{dy} = \frac{3x - y^2}{y}$$$$\frac{dx}{dy} = \frac{3x}{y} - \frac{y^2}{y}$$$$\frac{dx}{dy} - \frac{3}{y}x = - y\qquad \qquad \qquad (4)$$De donde podemos identificar a $P(y)^= - \frac{3}{y}$ y aplicamos el resultado encontrado a la ecuación de la solución hoogénea (2):
$$x_h = Ce^{- \int (- \frac{3}{y})dy}$$$$\qquad = Ce^{3Ln|y| }$$$$\color {red}{x_h = C\ y^3 }$$
Cabe aclarar que la ecuación es muy sencilla y por eso aplicamos a fórmula encontrada en el análisis de la ecuación diferencial (1), si este no fuese el caso, procederíamos a separar las variables y encontrar la solución.
Ahora necesitamos encontrar la solución particular. También aquí podemos encontrar la solución particular usando la ecuación encontrada o partir desde cero, que es lo que haremos en este caso para que no me digan que soy flojo
La solución homogénea es $x_h = C\ y^3$ que se transformará en la solución particular como $$x_p = C(y)\ y^3 \qquad \text{y} \qquad \frac{dx_p}{dy} = C(y)\Big[3 y^2 \Big] + \Big[ \frac{d\ C(y)}{dy} \Big]\ y^3$$Y estos resultados los substituimos en (4)
$$3\ y^2\ C(y) + y^3 \frac{d\ C(y)}{dy} - \frac{3}{y}C(y)\ y^3 = - y$$Observamos que el primero y tercer término del lado izquierdo de la igualdad son iguales, así que nos queda
$$y^3 \frac{d\ C(y)}{dy} = - y$$$$\frac{d\ C(y)}{dy} = - \frac{1}{y^2}$$Y resolvemos estas ecuación diferencial para $C(x)$
$$C(x) = - \int \frac{dy}{y^2} = \frac{1}{y}$$así que la solución particular es:
$$x_p = C(y)\ y^3 = \Big( \frac{1}{y} \Big) y^3 = y^2$$Y nuestra solución general es:
$$\boxed{\ \ \ y\ =\ y_h\ +\ y_p = C\ y^3\ +\ y^2 \ \ \ }$$
Solución alterna
Si usamos la ecuación (3), tomando en cuenta que $P(y) = - \frac{3}{y}$ y $f(y) = - y$, tendremos
$$y = c\ e^{-\int (\textbf - 3/y)dy} + e^{-\int (\textbf - 3/y)dy} \int e^{\int (\textbf - 3/y)dy} (- y) dy$$$$\qquad = c\ e^{3 Ln| y | } - e^{3 Ln| y | } \int e^{\textbf - 3 Ln| y | } y\ dy$$$$\qquad = c\ e^{Ln| y^3 |} - e^{Ln| y^3 |} \int e^{Ln | y^{\textbf -3} |} y\ dy$$$$\qquad = c\ y^3 - y^3 \int y^{-3}\ y\ dy$$$$\qquad = c\ y^3 - y^3 \int y^{-2}\ dy$$$$\qquad = c\ y^3 - y^3 \Big[ \frac{y^{-1}}{-1}\ \Big]$$$$\boxed{\ \ \ y\ =\ c\ y^3\ +\ y^2 \ \ \ }$$Que, no es de sorprender, es la misma solución que se encontró anteriormente!!!!.
Por supuesto, en el desarrollo, le eché mucho de "mi cosecha", por eso se hizo largo el proceso, pero a la próxima, ya seré más escueto, o séase, más CBS (Concreto, Breve y Sustancioso).
EJEMPLO 2 Resuelve la siguiente ecuación diferencial $$(xy + e^x) dx = x dy$$
$$(xy + e^x) dx = x dy$$$$(xy + e^x) = x \frac{dy}{dx}$$$$(y + \frac{1}{x}\ e^x) = \frac{dy}{dx}$$$$\frac{dy}{dx} - y = \frac{1}{x}\ e^x \qquad \qquad \qquad(5)$$
Solución homogénea
$$\frac{dy_h}{dx} - y = 0$$Y resolvemos por separación de variables
$$\frac{dy_h}{y} = dx$$$$\int \frac{dy_h}{y} = \int dx + Ln| c |$$$$Ln| y_h | - Ln | c | = x $$$$Ln\frac{y_h}{c} = x$$$$y_h = ce^x$$
Solución particular
Hacemos la constante de la solución homogénea, una variable que dependa de nuestra variable independiente: $y_p = c(x)\ e^x$
Obtenemos su derivada y tomando en cuenta que c = c(x), entonces
$$\frac{y_p}{dx} = c\ (e^x) + \Big( \frac{dc}{dx} \Big) e^x$$Y sustituimos en (5)
$$c\ (e^x) + \frac{dc}{dx} e^x - c\ e^x = \frac{1}{x}\ e^x$$$$\frac{dc}{dx} e^x = \frac{1}{x}\ e^x$$$$dc = \frac{dx}{x}$$$$\int dc = \int \frac{dx}{x}$$$$c = Ln| x |$$No!!!, no olvidé la constante de integración. En esta integral no se incluye constante de integración ya que en la solución de la ecuación homogénea le pusimos una constante de integración y como se van a sumar las dos soluciones, la homogénea y la particular ya no hay necesidad de agregar otra constante ya que nuestra ecuación diferencial es de primer orden y solo lleva una constante.
La solución particular es entonces:
$$y_p = c(x)\ e^x = Ln| x |\ e^x$$Y nuestra solución general es entonces
$$y = y_h + y_p = c\ e^x + Ln| x |\ e^x$$$$\boxed{\ \ \ y = e^x\ [ Ln| x | + c ] \ \ \ }$$
EJERCICIO 1 Resuelve la ecuación
$$y' + 2xy = 2xe^{-x^2}$$
SOLUCIÓN 1 Como les comenté en la clase, estos problemas los podemos resolver mínimo de dos maneras, uno, usando completamente el desarrollo y usando las formulas que ya obtuvimos anteriormente. Comenzaremos con el método más largo
Método 1. Desarrollo completo.
solución homogénea
Resolvemos primero la ecuación homogénea
$$y' + 2xy = 0$$$$\frac{dy}{dx} = - 2xy$$$$\int \frac{dy}{y} = \textbf - 2\int xdx$$$$Ln|y| = -x^2 + Ln|c| $$$$\textbf y _h = c e^{-x^2}$$
Solución no homogénea o particular
$$y_p = c(x)\ e^{-x^2}$$Y como quedamos en clase, para no confundirnos con los paréntesis usaremos $c = c(x)$ y $y = y_p$
$$\frac{dy}{dx} = c\ (- 2x e^{\ - x^2}) + (\frac{dc}{dx})e^{-x^2}$$$$\frac{dy}{dx} = -2cxe^{-x^2} + e^{-x^2}\frac{dc}{dx}$$Y ahora sustituimos estos resultados en la EDO original
$$\frac{dy}{dx} + 2xy = 2xe^{-x^2}$$$$-2cxe^{-x^2} + e^{-x^2}\frac{dc}{dx} + 2x c e^{-x^2} = 2x e^{- x^2}$$Y observamos que el primero y tercer término del lado izquierdo de esta igualdad son iguales pero de signo contrario, por lo que se anulan. dejándonos sólo:
$$e^{-x^2}\frac{dc}{dx} = 2x e^{- x^2}$$Y resolviendo
$$\int dc = 2\int x dx $$$$c = x^2$$Y por tanto$$y_p = c(x) e^{-x^2}$$$$\textbf y _p = x^2 e^{-x^2}$$
Y la solución general es la suma de estas dos soluciones
$$y(x) = y_h + y_p$$$$\boxed {\ \ \ y(x) = c e^{- x^2} + x^2 e^{- x^2} \ \ \ }$$
Método 2 Usando la fórmula
La formula de la solución general que se dedujo arriba es:
$$y = ce^{\textbf - \int P(x) dx}\ +\ e^{- \int P(x) dx} \int e^{\int P(x)dx} f(x) dx $$
Resolvemos primero las integrales sabiendo que $p(x) = 2x$ y $f(x) = 2xe^{-x^2}$
$$- \int p(x) dx = $$$$- \int 2x dx = - x^2$$$$ \int 2x dx = x^2$$
Ahora sí, con estos datos encontraremos la solución general con la fórmula
$$y = ce^{- \int P(x) dx}\ +\ e^{- \int P(x) dx} \int e^{\int P(x)dx} f(x) dx $$$$y(x) = ce^{-x^2} + e^{- x^2} \int (e^{x^2})(2x e^{- x^2}) dx$$$$y(x) = ce^{-x^2} + e^{- x^2} \int (2x) dx$$$$\boxed{\ \ \ y(x) = ce^{-x^2} + x^2e^{-x^2} \ \ \ } $$
Como se pudo ver, es la misma solución por los dos métodos
EJERCICIO 2 Resuelve la ecuación
$$\frac {dy}{dx} = \frac {1}{x\ cos y + sen 2y}$$
Método II: FACTOR INTEGRANTE
Si nuestra ecuación diferencial lineal de primer orden está e la forma estándar (1)
$$\frac{dy}{dx} + P(x) = f(x)$$
Vamos a suponer ahora que existe una función
$$\mu (x) = e^{\int P(x) dx}$$La cual se conoce como factor integrante.
Si multiplicamos (1) por ese factor integrante
$$e^{\int P(x) dx}\ \frac{dy}{dx} + e^{\int P(x) dx} P(x)\ y = e^{\int P(x) dx}f(x) \qquad \qquad (6)$$
Verificamos si el lado izquierdo se puede poner como un diferencial.
Recordemos que si tenemos
$$d(xy) = x\ dy + y\ dx$$
Si tomamos cualquier termino de la derecha, digamos $x\ dy$ la función que vamos a poner como un diferencial total se obtiene tomando a $x$ como primer factor y el segundo se obtiene integrando $dy$ (sin constante de integración) que nos da como segundo factor es $y$, así que la función será $xy$ a la que sacaremos diferencial total.
Procediendo, tomando la nota anterior, entonces nuestro diferencial total como
$$d\Big(e^{\int P(x) dx}\ y \Big) $$Así que (6) la podemos escribir como
$$d\Big( y\ e^{\int P(x) dx}\Big) = e^{\int P(x) dx}\ f(x)$$E integramos$$\int d\Big( y\ e^{\int P(x) dx}\Big) = \int e^{\int P(x) dx}\ f(x)\ dx + C$$$$y\ e^{\int P(x) dx} = \int e^{\int P(x) dx}\ f(x)\ dx + C$$$$y = e^{\textbf -\int P(x) dx}\ \int e^{\int P(x) dx}\ f(x)\ dx + C\ e^{\textbf - \int P(x) dx}$$Y sin que nos cause sorpresa alguna, esta ecuación es la misma que (3) que obtuvimos por el método de variación de parámetros.
EJEMPLO 3 Resuelve la siguiente ecuación diferencial con valores iniciales
$$y' + \frac{n}{x}y = \frac{a}{x^n}\ ; \quad y(1) = 0$$
SOLUCIÓN 3
La ecuación ya está en el formato requerido para proceder a su solución, así que identificamos a $P(x) = \frac{n}{x}$ y procedemos a encontrar $\mu (x)$
$$\mu(x) = e^{\int n/x} dx = e^{n\ Ln| x |} = e^{Ln | x^n |} = x^n$$Ahora, multiplicamos la ecuación diferencial a resolver, por el FI
$$y'\ x^n + \frac{n}{x}y\ x^n = \frac{a}{x^n}\ x^n $$$$y'\ x^n + n\ x^{n\ -\ 1}y = a $$Ahora, ponemos esta ecuación en formato de diferenciales y no de derivadas, esto con la finalidad de visualizar mejor la solución
$$ x^n\ dy + n\ x^{n\ \textbf -\ 1}y\ dx = a\ dx $$Y procedemos a encontrar el diferencial total de lado izquierdo de la igualdad
$$ d(x^n\ y) = a\ dx $$Ahora integramos
$$ \int d(x^n\ y) = \int a\ dx + c$$$$x^n\ y = ax + c\qquad \qquad \qquad (7)$$Ahora, considerando las condiciones iniciales, donde $x = 1$ y $y = 0$
$$(1)^n\ (0) = a(1) + c$$$$c = - a$$Y, sustituyendo este resultado en (7) tendremos
$$x^n\ y = ax - a$$$$\boxed{\ \ \ y = \frac{a\ (x\ -\ 1}{x^n} \ \ \ }$$
EJEMPLO 4 Resuelve la siguiente ecuación diferencial
$$(1 + x^2) y' - 2xy = (1 + x^2)^2 $$
SOLUCIÓN 4
Dejamos la ecuación diferencial en el formato estándar
$$y' - \frac{2x}{1 + x^2 }\ y = 1 + x^2\qquad \qquad (8)$$Ahora procedemos a encontrar el FI, con $P(x) = -\ \frac{2x}{1 + x^2 }$
$$\mu (x) = e^{ \int (\textbf - 2x)\ /(1 + x^2 )\ dx } = e^{Ln | (1\ +\ x^2)^{\textbf - 1} |} = (1 + x^2)^{\textbf - 1} $$Nota: Recordemos que les comenté que cuando tenemos una fracción en una integral, antes de hacer un cambio de variable, chequemos si tenemos el diferencial del denominador, en este caso de $1 + x^2$, el cual debe de ser: $2x\ dx$, y, así es, efectivamente lo tenemos, por lo que, como el denominador tiene exponente 1, el resultado debe de ser un logaritmo natural.
Ya que tenemos el FI, lo multiplicamos por (8)
Ahora ponemos (8) en formato de diferenciales
$$dy \ \textbf - \frac{2x}{1 + x^2 }\ y\ dx = (1 + x^2)\ dx\qquad \qquad (9)$$Y multiplicamos (9) por el FI:
$$\frac{1}{(1 + x^2)}\ dy\ \textbf -\ \frac{2x}{(1 + x^2 )^2}\ y\ dx = dx$$Verifiquen que el diferencial total de la izquierda es:
$$d\Big( \frac{ y}{1 + x^2} \Big) = dx$$Y ahora integramos
$$\int d\Big( \frac{ y}{1 + x^2} \Big) = \int dx + c$$$$\frac{y}{1\ +\ x^2} = x + c$$$$\boxed{\ \ \ y = (1 + x^2)(x + c) \ \ \ }$$
TAREA 5 VARIACIÓN DE PARÁMETROS Y FACTOR INTEGRANTE
Usa estos dos métodos alternativamente, no uses solo un método
1. $xy' - 2y = 2x^4$
2. $cos x\ y' + y = 1 - sen y$
3. $(xy + e^x )dx = xdy$
4. $y' + \frac{n}{x}y = \frac{a}{x^n} $; Con las condiciones iniciales $y(1) = 0$
5. $2ydx + (y^2 - 6x)dy = 0$
6. $2 Ln|y| + y - x) y' = y$
7. $y' - \frac{1}{xLn|x|} y = xLn|x|$; con condiciones iniciales $y(e) = \frac{e^2}{2}$
8. $sen x \ y' - y\ cos x = 1$; con condiciones iniciales $y(\pi / 2) = 0$
9. $y' = \frac{y}{x + y^2}$
10. $y' + 3y (tan\ 3x) = sen 6x$; Con condiciones iniciales $y(0) = 1/3$
11. $(y^4 + 2x)y' = y$
12. $y' + \frac{xy}{1 - x^2} = 0$
No hay comentarios. :
Publicar un comentario