$$F(x,\ y,\ y',\ y'', .... y^{(n)}) = 0\qquad \qquad \qquad (1)$$Si la ecuación se puede resolver respecto a su derivada de más alto orden, entonces (1) se expresa como
$$y^{(n)} = f( x,\ y,\ y',\ y'', ..... , y^{(n\ \textbf - \ 1)})\qquad \qquad \qquad (2)$$
Teorema de la existencia y unicidad
Si en la ecuación (2), la función cumple con las siguientes propiedades
- Es continua respecto a sus argumentos $x,\ y,\ y',\ y'', ..... , y^{(n\ \textbf - \ 1)}$ en un dominio D
- Tiene derivadas parciales continuas con respecto a los argumentos $x,\ y,\ y',\ y'', ..... , y^{(n\ \textbf - \ 1)}$ en un dominio D, entonces existe y además es única la solución $y = \phi (x)$ de (2) que cumple con las condiciones
$$y(x_0) = y_0,\ \ \ \ y'(x_0) = y'_0,\ \ \ \ y''(x_0) = y''_0,\ ....,\ y^{(n-1)}(x_0) = y^{(n\ \ \textbf - \ 1)}_0 \qquad (3)$$
Donde los valores $x_0,\ y = y_0,\ y' = y'_0,\ y'' = y''_0,\ ....,\ y^{(n-1)} = y^{(n\ \textbf - \ 1)}_0 $ están definidos en un dominio D. La condiciones (3) se les conoce como condiciones iniciales y al problema que tiene como objetivo encontrar la solución $y = \phi(x)$ de la ecuación (2) y que cumpla las condiciones (3) se le conoce problema de Cauchy.
Definiciones
Solución general Es el conjunto de todas las soluciones para la ecuación (2) determinadas por
$$y = \phi(x,\ c_1,\ c_2,\ c_2,\ ....,\ c_n)\qquad \qquad \qquad (4)$$
Solución particular Es cualquier solución obtenida de la solución general (4) con las condiciones iniciales (3) y se puede representar como
$$y = \phi(x,\ \bar {c} _1,\ \bar {c} _2,\ \bar {c} _2,\ ....,\ \bar {c} _n)\qquad \qquad \qquad (5)$$Donde $\bar {c} _i, \ \ \ i = 1, 2, 3, ..., n$ son valores conocidos.
Integral general Es la ecuación (4) en forma implícita
$$\Phi(x,\ y,\ c_1,\ c_2,\ c_2,\ ....,\ c_n) = 0\qquad \qquad \qquad (6)$$
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
La ecuación de la forma
$$y^{n} = f(x)$$
es la más simple de la ecuaciones de n-ésimo orden.
Para encontrar su solución se integra n veces respecto a x
$$y^{(n\ \textbf - \ 1)} = \int f(x) dx + c_1$$$$y^{(n\ \textbf - \ 2)} = \int \bigg( \int f(x) dx \bigg)\ dx + c_1 x + c_2$$$$.............$$$$\text {Se integra n veces}$$
EJEMPLO 1 Resuelve la ecuación diferencial
$$y''' = x$$
SOLUCIÓN 1
$$\int d(y'')dx = y'' = \int x dx = \frac{1}{2}x^2 + c_1 $$$$\int d(y')dx = y' = \int \bigg(\frac{1}{2}x^2 + c_1 \bigg)dx = \frac{1}{2 \cdot\ 3}x^3 + c_1x + c_2 $$$$ \int d(y)dx = y = \int \bigg( \frac{x^3}{2 \cdot\ 3} + c_1x + c_2\bigg) = \frac{1}{2 \cdot\ 3 \cdot 4}x^4 + \frac{c_1x}{2} + c_2x + c_3 $$$$\boxed{\ \ \ y = \frac{1}{2 \cdot\ 3 \cdot 4}x^4 + \frac{c_1x}{2} + c_2x + c_3 \ \ \ }$$
Como siempre, no se confíen mucho en estas operaciones que aunque parecen sencillas, recuerden que hay funciones más complejas
EJEMPLO 2 Resuelve la ecuación diferencial
$$y'' = cos\ \omega x$$
SOLUCIÓN 2
$$y' = \int cos\ \omega x \ dx = - \frac{1}{\omega} sen\ \omega x + c_1$$$$y = \int \bigg( - \frac{1}{\omega} sen\ \omega x + c_1\bigg)\ dx = - \frac{1}{\omega ^2} cos\ \omega x + c_1 x + c_2$$$$\boxed{\ \ \ y = - \frac{1}{\omega ^2} cos\ \omega x + c_1 x + c_2 \ \ \ }$$
ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR REDUCIBLES A PRIMER ORDEN
Existen ecuaciones diferenciales de orden superior que se pueden reducir a otra de un orden menor. Veamos dos casos:
1. Si la ecuación (1) no contiene explícitamente la función desconocida $y(x)$ entonces (1) tiene la forma
$$F\Big( x,\ y^{(k)},\ y^{(k\ +\ 1)},\ y^{(k\ +\ 2)}, .... y^{(n)} \Big) = 0$$En este caso, se toma como función desconocida la derivada de menor orden, haciendo el siguiente cambio
$$y^{(k)} = p(x)$$
EJEMPLO 3 Resuelve la ecuación
$$x^2y'' = (y')^2$$
SOLUCIÓN 3
Como se observa, la ecuación no tiene la función desconocida $y(x)$ en la expresión por lo que se procede hacer el cambio $y' = p(x)$ y por tanto $y'' = p'(x)$
Así que la ecuación diferencial se transforma a
$$x^2 p'(x) = p^2$$Que es una ecuación de primer orden de variables separables.
$$\frac{dp(x)}{p^2(x)} = \frac{dx}{x^2} $$$$\int \frac{dp(x)}{p^2(x)} dp = \int \frac{dx}{x^2} dx $$$$-\frac{1}{p} = -\frac{1}{x} - c_1 $$$$\frac{1}{dy/dx} = \frac{1}{x} + c_1 $$$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{x} + c_1$$Y esta ecuación la podemos resolver por separación de variables
$$\int \frac{x}{c_1x + 1}dx = \int dy$$$$\frac{1}{c_1}\int \frac{c_1 x + 1 - 1}{c_1x + 1}dx = \int dy$$$$\frac{1}{c_1}\Big[ \int dx - \int \frac{1}{c_1 x + 1} dx \Big] = y + c_2$$$$\frac{1}{c_1}x - \frac{1}{c_1^2} Ln| {c_1 x + 1} | = y + c_2$$Si multiplicamos la ecuación por $c_1^2$ tendremos
$$c_1 x - Ln| {c_1 x + 1} | = c_1^2y + c_1^2 c_2$$Que también se puede escribir como
$$\boxed{\ \ \ c_1 x - c_1^2y = Ln| {c_1 x + 1} | + C \qquad \text {si} \qquad C = c_1^2 c_2 }$$
2. La ecuación (1) no contiene explícitamente la variable independiente $x$. Por lo que (1) tiene la forma
$$F\Big( y,\ y',\ y'',\ y''', .... y^{(n)} \Big) = 0$$En este caso, el orden de la ecuación se puede reducir tomando como función dependiente a $y$ y como nueva función desconocida a $\frac{dy}{dx} = p(y)$
Supongamos que tenemos la ecuación:
$$y'' = f(y, y')\qquad \qquad \qquad (7) $$entonces, considerando los cambios tendremos que
$$\frac{dy}{dx} = p(y)$$$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx} = p(y) \frac{dp}{dy}$$
y la ecuación (7) quedaría como
$$p(y)\frac{dp}{dy} = f(y, p)$$Y solo quedará integrar. Veamos esto con otro ejemplo
EJEMPLO 4 Hallar la ecuación general de la ecuación
$$y'' = 2yy'$$
SOLUCIÓN 4
Como se observa, no aparece la variable independiente $x$ así que haremos
$$\frac{dy}{dx} = p(y)$$y$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dp}{dy} = \frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx} = p(y) \frac{dp}{dy}$$Ahora sustituimos estos resultados en a ecuación original
$$p \frac{dp}{dy} = 2yp$$Y vemos que la solución es muy fácil
$$\int dp = 2\int y\ dy $$$$p = y^2 + c_1$$$$\frac{dy}{dx} = y^2 + c_1$$Le comentaba que muchas veces a la primera no se puede ver el formato que tendrá la constante de integración c, pero en el transcurso de la solución se puede visualizar cual es la mejor opción, y como podemos ver, la mejor opción aquí, es poner a la constante uno, como $c_1^2$, así que la solución anterior quedaría mejor así
$$\frac{dy}{dx} = y^2 + c_1^2$$Y ahora procederemos a resolver por el método de separación de variables
$$\int \frac{dy}{y^2 + c_1^2} = \int dx$$$$\frac{1}{c_1}\ arc\ tan \Big( \frac{y}{c_1}\Big) = x + c_2$$O también la podemos expresar como
$$\boxed{\ \ \ y(x) = c_1 tan(c_1 x + c_1c_2 ) \ \ \ }$$
$$\int \frac{dy}{y^2 + c_1^2} = \int dx$$$$\frac{1}{c_1}\ arc\ tan \Big( \frac{y}{c_1}\Big) = x + c_2$$O también la podemos expresar como
$$\boxed{\ \ \ y(x) = c_1 tan(c_1 x + c_1c_2 ) \ \ \ }$$
3. Ahora, si $x$ y $y'$ no aparecen explícitamente (7), entonces esta ecuación aparece como
$$y'' = f(y)\qquad \qquad \qquad (8)$$. Este tipo de ecuaciones es un caso particular de (7). Si hacemos
$$y' = p(y) = \frac{dy}{dx}$$$$y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}$$Así, la ecuación (8) quedaría como
$$p\frac{dp}{dy} = f(y)$$Que se puede resolver por separación de variables
EJEMPLO 5 Hallar una curva para la cual, el radio de curvatura sea igual al cubo de la normal. La curva buscada deberá pasar por el punto P(0, 1) y tener en este punto la pendiente que forme un ángulo $\alpha = 45°$ con el eje X.
SOLUCIÓN 5
El radio de curvatura de una curva plana está dada por la ecxpresión
$$R = \frac{\Big[1 + (y')^2\Big]^{3/2}}{y''}$$Y la normal está dada por
$$N = y\sqrt{1 + (y')^2}$$
La condición que se nos da es la siguiente $$R = N^3$$$$\frac{\Big[1 + (y')^2\Big]^{3/2}}{y''} = \Big( y\sqrt{1 + (y')^2} \Big)^3$$$$\frac{\Big[1 + (y')^2\Big]^{3/2}}{y''} = y^3 \Big [1 + (y')^{3/2} \Big ]$$$$\frac{1}{y''} = y^3$$$$y'' = y^{-3}\qquad \qquad \qquad (9)$$
Observemos que esta ecuación es de la forma $y'' = f(y)$, así que haremos el cambio de variable ya consabido
$$\frac{dy}{dx} = p(y)\qquad y \qquad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx} = p(y) \frac{dp}{dy}$$Ahora sustituimos estos valores en (9)
$$p \frac{dp}{dy} = y^{-3}$$Y observamos que se puede resolver por separación de variables.
$$pdp = y^{-3}dy$$$$\int pdp = \int y^{-3}dy$$$$\frac{p^2}{2} = - \frac{y^{-2}}{2} + \frac{c_1}{2}$$$$p^2 = - y^2 + c_1$$Ahora regresamos a las variables originales
$$p = \sqrt{c_1 - y^{-2}}$$$$\frac{dy}{dx} = \sqrt{c_1 - y^2 } = \sqrt{\frac{ c_1 y^2 - 1}{ y^2 } }$$Para encontrar el valor de la constante $c_1$ hacemos uso de las condiciones iniciales que sabemos que la tangente en el punto P(0, 1) es de 45° y como sabemos que la pendiente es igual a la derivada y la pendiente de 45° = 1, tenemos
$$ \frac{dy}{dx}= \sqrt{\frac{ c_1 y^2 - 1}{ y^2 } }$$$$1 = \sqrt{\frac{ c_1 (1)^2 - 1}{ (1)^2 } }$$$$1 = \frac{c_1 - 1}{1}$$$$c_1 = 2$$Y ahora tenemos
$$ \frac{dy}{dx}= \frac{ \sqrt{ 2 y^2 - 1} } { y } $$
Ahora separando variables e integrando, tendremos
$$\int \frac {y}{\sqrt{ 2 y^2 - 1} } dy= \int dx $$$$ \frac{1}{4} \int \frac {4y}{\sqrt{ 2 y^2 - 1} } dy= \int dx $$$$\frac{1}{4} \frac{ (2y^2 - 1)^{1/2} } {1/2} = x + \frac{c_2}{2}$$$$\frac{1}{2} (2y^2 - 1)^{1/2} = x + \frac{c_2}{2}$$$$(2y^2 - 1)^{1/2} = 2x + c_2 $$Y podemos hacer una simplificación
$$y^2 = \frac{1}{2} (2x + c_2)^2 + 1 $$
Y el valor de $c_2$ se obtiene también de las condiciones iniciales, que dice que la curva debe de pasar por P(0, 1):
$$(1)^2 = \frac{1}{2} (2(0) + c_2)^2 + 1$$De donde $c_2 = 1$, así que
$$y^2 = \frac{1}{2} (2x + c_2)^2 + 1 $$$$y^2 = \frac{1}{2} (2x + 1)^2 + 1 $$$$y^2 = \frac{1}{2} (4x^2 + 4x + 1 + 1 )$$$$\boxed {\quad y^2 = 2x^2 +2x + 1\quad}$$
$$y'' = f(y)\qquad \qquad \qquad (8)$$. Este tipo de ecuaciones es un caso particular de (7). Si hacemos
$$y' = p(y) = \frac{dy}{dx}$$$$y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}$$Así, la ecuación (8) quedaría como
$$p\frac{dp}{dy} = f(y)$$Que se puede resolver por separación de variables
EJEMPLO 5 Hallar una curva para la cual, el radio de curvatura sea igual al cubo de la normal. La curva buscada deberá pasar por el punto P(0, 1) y tener en este punto la pendiente que forme un ángulo $\alpha = 45°$ con el eje X.
SOLUCIÓN 5
El radio de curvatura de una curva plana está dada por la ecxpresión
$$R = \frac{\Big[1 + (y')^2\Big]^{3/2}}{y''}$$Y la normal está dada por
$$N = y\sqrt{1 + (y')^2}$$
La condición que se nos da es la siguiente $$R = N^3$$$$\frac{\Big[1 + (y')^2\Big]^{3/2}}{y''} = \Big( y\sqrt{1 + (y')^2} \Big)^3$$$$\frac{\Big[1 + (y')^2\Big]^{3/2}}{y''} = y^3 \Big [1 + (y')^{3/2} \Big ]$$$$\frac{1}{y''} = y^3$$$$y'' = y^{-3}\qquad \qquad \qquad (9)$$
Observemos que esta ecuación es de la forma $y'' = f(y)$, así que haremos el cambio de variable ya consabido
$$\frac{dy}{dx} = p(y)\qquad y \qquad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx} = p(y) \frac{dp}{dy}$$Ahora sustituimos estos valores en (9)
$$p \frac{dp}{dy} = y^{-3}$$Y observamos que se puede resolver por separación de variables.
$$pdp = y^{-3}dy$$$$\int pdp = \int y^{-3}dy$$$$\frac{p^2}{2} = - \frac{y^{-2}}{2} + \frac{c_1}{2}$$$$p^2 = - y^2 + c_1$$Ahora regresamos a las variables originales
$$p = \sqrt{c_1 - y^{-2}}$$$$\frac{dy}{dx} = \sqrt{c_1 - y^2 } = \sqrt{\frac{ c_1 y^2 - 1}{ y^2 } }$$Para encontrar el valor de la constante $c_1$ hacemos uso de las condiciones iniciales que sabemos que la tangente en el punto P(0, 1) es de 45° y como sabemos que la pendiente es igual a la derivada y la pendiente de 45° = 1, tenemos
$$ \frac{dy}{dx}= \sqrt{\frac{ c_1 y^2 - 1}{ y^2 } }$$$$1 = \sqrt{\frac{ c_1 (1)^2 - 1}{ (1)^2 } }$$$$1 = \frac{c_1 - 1}{1}$$$$c_1 = 2$$Y ahora tenemos
$$ \frac{dy}{dx}= \frac{ \sqrt{ 2 y^2 - 1} } { y } $$
Ahora separando variables e integrando, tendremos
$$\int \frac {y}{\sqrt{ 2 y^2 - 1} } dy= \int dx $$$$ \frac{1}{4} \int \frac {4y}{\sqrt{ 2 y^2 - 1} } dy= \int dx $$$$\frac{1}{4} \frac{ (2y^2 - 1)^{1/2} } {1/2} = x + \frac{c_2}{2}$$$$\frac{1}{2} (2y^2 - 1)^{1/2} = x + \frac{c_2}{2}$$$$(2y^2 - 1)^{1/2} = 2x + c_2 $$Y podemos hacer una simplificación
$$y^2 = \frac{1}{2} (2x + c_2)^2 + 1 $$
Y el valor de $c_2$ se obtiene también de las condiciones iniciales, que dice que la curva debe de pasar por P(0, 1):
$$(1)^2 = \frac{1}{2} (2(0) + c_2)^2 + 1$$De donde $c_2 = 1$, así que
$$y^2 = \frac{1}{2} (2x + c_2)^2 + 1 $$$$y^2 = \frac{1}{2} (2x + 1)^2 + 1 $$$$y^2 = \frac{1}{2} (4x^2 + 4x + 1 + 1 )$$$$\boxed {\quad y^2 = 2x^2 +2x + 1\quad}$$
No hay comentarios. :
Publicar un comentario