Caracterizacion

ECUACIÓN

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones matemáticas, denominadas miembros, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.

ECUACIONES DIFERENCIALES
En general, una ecuación diferencial es una igualdad que contiene variables independientes, una función dependiente (incógnita) y sus derivadas.

CARACTERIZACIÓN O CLASIFICACIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Para hablar acerca de las ecuaciones diferenciales las clasificaremos por  tipo, orden, grado y linealidad.

CLASIFICACIÓN POR TIPO
Ecuaciones diferenciales ordinarias  (EDO).  Es una ecuación diferencial que contiene sólo derivadas de una o más variables que solo dependen de una variable independiente.  Por ejemplo

$\frac{dy}{dx} +  5y = e^x$

$y' + 4x^2y = 3x^2  + 2x -5$

$\frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} = 2x + y  \\$
Ecuaciones diferenciales parciales (EDP). Es una ecuación diferencial que tiene derivadas parciales de una o más variables con dos o más variables independiente.  Ejemplo de ello son

$y \frac{\partial u(x,y)}{\partial y} + x \frac{\partial u(x, y)}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial^2u(x, y)}{\partial x \partial y} = x + y  $

$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial t^2} - 2\frac{\partial u}{\partial t} \\$
Ecuaciones diferenciales fraccionarias. Una de las primeras cosas que Dios tuvo que decidir en el primer día de la Creación fue, ¿qué forma les daría a las leyes físicas que habrían de gobernar la evolución del universo?.   Para el mediodía de ese primer día Dios ya había decidido que escribiría las leyes físicas en forma de ecuaciones diferenciales, pero todavía tenía una duda:  ¿usaría derivadas de orden entero en sus ecuaciones o introduciría alguna derivada fraccionaria? Si usara sólo derivadas de orden entero, su imparcialidad podría quedar en entredicho.
Los números irracionales (y los racionales no enteros) podrían sentirse discriminados y podrían argumentar que los enteros estaban siendo favorecidos de manera injusta.
Y la primera ecuación sobre la que Dios tenía que tomar una decisión era la forma de la ley que habría de constituir el fundamento de la mecánica clásica, es decir, la que le inspiraría a Newton a mediados del siglo  XVII , y que llegaría a ser conocida como segunda ley de Newton.   Dios se sentía inclinado a escribir esa ecuación en la forma:$$\frac{d^2 x(t)}{dt^2} = \frac{Fuerza}{Masa}$$

Su divina intuición le sugería que la segunda derivada sería más conveniente que una derivada fraccionaria de un orden $\alpha \neq 2$ , pero quería tener bien claro que pasaría si tomara una ecuación de la forma de una ecuación diferencial fraccionaria ..  Pero para no cansarlos, otro día, si les interesa,les contare la historia de como Dios decidió usar las ecuaciones diferenciales de orden fraccionario.

Las derivadas ordinarias se escriben normalmente usando usando diferentes notaciones:

Notación de Leibniz.  $dy/dx, \quad d^2y/dx^2,  \quad d^3y/d^3,   ..... \\$
Notación prima.  $y',  \quad  y'',  \quad y'''  \\$
Notación de Newton de punto.   $\dot{y}  + xy = e^{2x}, \qquad  \ddot{y} - x\dot{y} = 3x +y^2 \\$
Notación de subíndice.  $u_{xx} = u_{tt} - 2u_{t} \\ $

NOTA: La notación de subíndice se usa en las derivadas parciales.

CLASIFICACIÓN POR ORDEN
El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la mayor derivada de la ecuación.  Por ejemplo:
$$\frac{d^2y}{dx^2} + 5\Big(\frac{dy}{dx}\Big)^3 - 4y = e^x $$
Es una ecuación diferencial de segundo orden.

Simbólicamente podemos representar una ecuación diferencial de n-ésimo orden con una variable dependiente por la forma general:
$$F(x, y, y', y'', .... , y^{(n)} )= 0 \qquad \qquad \qquad (1)  $$
Donde $F$ es una función con valores reales de $n + 2$ variables: $x, y, y', y'', ... y^{(n)} \\ $.

La ecuación diferencial
$$\frac{d^ny}{dx^n} = f\Big(x, y, y', y'',  .....  y^{(n - 1)}\Big) \\$$
Donde $f$ es una función continua con valores reales, se conoce como la $forma$  $normal$ de la ecuación (1).

CLASIFICACIÓN POR GRADO
Se denomina grado de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden.
Los siguientes ejemplos aclaran el concepto de grado de una ecuación diferencial

a)  $xy' + y = e^x$   es una EDO de primer grado
b)  $(y'')^3  +3b(y')^5 = sen x$     es una EDO de 3 grado



CLASIFICACIÓN POR LINEALIDAD
Una ecuación diferencial de n-ésimo orden, se dice que es $lineal$ si $F$ es lineal en $y,  y', y'', .... y^{(n)}$.  Esto significa que una EDO de n-ésimo orden es lineal cuando la ecuación (1) tiene la forma siguiente:

$$a_{n}(x)\frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n - 1}y}{dx^{n - 1}} + ..... + a_{1}(x) \frac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) \qquad \qquad  (2)$$

De la ecuación (2) vemos que las dos propiedades características de una EDO son las siguientes:

1. La variable dependiente $y$ y de todas sus derivadas  $y',  y'',  ..... , y^{n} $ son de primer grado, es decir, la potencia de cada término que contiene $y$ es igual a 1.
2. Los coeficientes de $a_{0},  a_{1},  .... , a_{n}$  de $y,  y',  y'', ...., y_{n}$ dependen a lo más de la variable independiente x.

Veamos si estamos entendiendo esto. ¿De qué orden son las siguientes ecuaciones diferenciales?.

$(y - x)dx + 4xdy = 0 \\$
$y'' - 2y' + y = 0 \\ $
$\frac{d^3 y}{dx^3} + x \frac{dy}{dx} - 5y = e^x \\ $

Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es simplemente no lineal.  Funciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas, tales como $sen y$, o $e^y$,  no se pueden presentar en una ecuación lineal, por lo tanto, ¿qué puedes decir de las siguientes ecuaciones diferenciales?.

$(1 - y)y' + 2y = e^x \\ $
$\frac{dy^2}{dx^2} + sen y = 0 \\$
$\frac{d^4y}{dx^4} + y^2 = 0 \\ $

Caracteriza o clasifica las siguientes ecuaciones

$\quad y \frac{\partial u(x, y)}{\partial y} + x \frac{\partial u(x, y)}{\partial x} = 0 \\ $
$\quad t \frac{\partial u(x, t)}{\partial t} + x \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = u(x, t) \\ $
$\quad \frac{\partial ^2 u(x, y)}{\partial x \partial y)} = x +y \\ $
$\quad \frac{dx}{dt} = 2x + y \\ $
$\quad \frac{dy}{dt} = 3x + 4y \\$
$\quad (y')^2 = xy \\$
$\quad yy'' - 4y' + y = x - 3 \\ $
$\quad y''' + y^4 = 0 \\$