Definición de la transformadas de Laplace
Introducción
Ya vimos en cálculo operaciones como la integración y la derivación que por el hecho de convertir una función en otra son consideradas como transformadas. Por ejemplo la función $f(x) = x^2$ se transforma en una función lineal y una familia de funciones polinomiales cúbicas con las operaciones de derivación e integración respectivamente.
$$\frac{d}{dx}x^2 = 2x\qquad y \qquad \int{x^2}dx = \frac{1}{3}x^3 + c$$
Además, estas dos transformadas tienen la propiedad de linealidad, esto es:
$$\frac{d}{dx}[\alpha f(x) + \beta g(x)] = \alpha f'(x) + \beta g'(x) $$
y
$$\int{[\alpha f(x) + \beta g(x)]}dx = \alpha \int{f(x)}dx + \beta \int{g(x)}dx$$
Esto es así, siempre que cada derivada e integral existan.
Bueno, pues veremos ahora una transformada integral conocida como transformada de Laplace. Además de tener la propiedad de linealidad, la transformada de Laplace tiene otras muchas propiedades que la hacen muy útil para resolver problemas lineales con valores iniciales.
Aquí nos enfocaremos en una transformada integral donde el intervalo de integración es el intervalo no acotado $[0, \infty)$. Si $f(t)$ se define para $t \ge 0$, entonces la integral impropia se define como un límite:
$$\int_{0}^{\infty}{K(s, t)f(t)}dt = \lim_{b \rightarrow \infty}\int_{0}^{\infty}{K(s, t) f(t)}{dt} \qquad \qquad \qquad (1)$$
Si existe el límite de (1), se dice la que la integral existe o es convergente si no existe el límite, la integral no existe y es divergente. En general, el límite de (1) existirá solo para ciertos valores de la variable s.
La función $K(s, t)$ en (1) se llama kernel o núcleo de la transformada. La elección de $K(s, t) = e^{-st}$ como el núcleo nos proporciona una transformada integral en especial importante.
DEFINICIÓN DE TRANSFORMADA DE LAPLACE
Sea $f$ una función definida para $t \ge 0$. Entonces se dice que la integral
$$L\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t) dt$$
es la transformada de Laplace de $f$, siempre que la integral converja.
NOTACIÓN
Es importante estandarizar la manera en que se trabaja para evitar confusiones, por lo que en general, se usará la letra minúscula para denotar a la función que se va a transformar y la letra mayúscula correspondiente para denotar su transformada de Laplace, por ejemplo:
$$L\{f(t)\} = F(s),\qquad L\{g(t)\}= G(s), \qquad L\{y(t)\} = Y(s)$$
EJEMPLO 1
Evaluar $L\{1\}$
SOLUCIÓN 1
$$L\{1\}= \int_{0}^{\infty}e^{-st}(1)dt = \lim_{b \rightarrow \infty}{\int_{0}^{b} e^{-st}dt } =$$
$$ = \lim_{b \rightarrow \infty}{\frac{e^{-st}}{- s} }{\Bigg|}_{0}^{b} = - \lim_{b \rightarrow \infty}{\Bigg[\frac{e^{-sb}}{s} - \frac{e^{-s(0)}}{s} \Bigg]}=$$
$$ = - \bigg[0 - \frac{1}{s} \bigg] = \frac{1}{s}$$
EJEMPLO 2
Evaluar $L\{t\}$
SOLUCIÓN 2
Para simplificar un poco el proceso de cálculo de la transformada haremos caso omiso de proceder con el límite de las integrales impropias.
$$L\{t\}= \int_{0}^{\infty}e^{-st}(t)dt = $$
Esta integral se resuelve por partes
$ u = t$ $dv = e^{-st}dt$
$du = dt$ $ v = - \frac{e^{-st}}{s}$
$$L\{t\}= \int_{0}^{\infty}e^{-st}(t)dt = - \frac{t e^{-st}}{s}\Bigg|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \bigg[\frac{-e^{-st}}{s}\bigg] dt = $$
$$ = \frac{1}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st}dt = \frac{1}{s}\Bigg(- \frac{1}{s}\Bigg) e^{-st} {\Bigg|}_{0}^{\infty}= (-\frac{1}{s^2})(0 - 1) = \frac{1}{s^2}$$
EJEMPLO 3
Evaluar $L\{t^2\}$
SOLUCIÓN 3
$$L\{t^2\}= \int_{0}^{\infty}e^{-st}(t^2)dt = $$
Esta integral se resuelve por partes
$ u = t^2$ $\quad dv = e^{-st}dt$
$du = 2tdt$ $ v = - \frac{e^{-st}}{s}$
$$L\{t^2\}= \int_{0}^{\infty}e^{-st}(t^2)dt = - \frac{2t e^{-st}}{s}\Bigg|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \bigg[\frac{-2te^{-st}}{s}\bigg] dt = $$
$$ = \frac{2}{s} \int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt =$$
Pero esta integral ya se evaluó anteriormente
$$ L\{t^2\} =\frac{2}{s}\Bigg(\frac{1}{s^2}\Bigg) = \frac{2\cdot1}{s^3} = \frac{2!}{s^3}$$
SOLUCIÓN 4
Pero esta integral ya se evaluó anteriormente
$$ L\{t^2\} =\frac{2}{s}\Bigg(\frac{1}{s^2}\Bigg) = \frac{2\cdot1}{s^3} = \frac{2!}{s^3}$$
EJEMPLO 4
Evaluar $L\{t^3\}$
SOLUCIÓN 4
$$L\{t^3\}= \int_{0}^{\infty}e^{-st}(t^3)dt = $$
Nuevamente, resolvemos esta integral por partes
$ u = t^3$ $\quad dv = e^{-st}dt$
$du = 3t^2dt$ $ v = - \frac{e^{-st}}{s}$
$$L\{t^3\}= \int_{0}^{\infty}e^{-st}(t^3)dt = - \frac{t^3 e^{-st}}{s}\Bigg|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \bigg[\frac{-3t^2 e^{-st}}{s}\bigg] dt = $$
$$ = \frac{3}{s} \int_{0}^{\infty} t^2 e^{-st}dt =$$
Esta integral ya se evaluó anteriormente, por lo que
$$ L\{t^3\} =\frac{3}{s}\Bigg(\frac{2 \cdot 1}{s^3}\Bigg) = \frac{3\cdot 2 \cdot 1}{s^4} = \frac{3!}{s^4}$$
Tip. Según lo que hemos hecho anteriormente se puede hacer una deducción sencilla utilizando la inducción matemática.
$$L\{e^{t + 7}\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}(e^{t + 7})dt = \int_{0}^{\infty}e^7 e^te^{-st}dt =$$
$$= e^7 \int_{0}^{\infty}e^{(1 - s)t}dt = \frac{e^7}{1 - s}e^{(1 - s)t}\Bigg|_{0}^{\infty} = 0 - \frac{e^7}{1 - s} = \frac{e^7}{s - 1} \qquad s > 1$$
Esta integral ya se evaluó anteriormente, por lo que
$$ L\{t^3\} =\frac{3}{s}\Bigg(\frac{2 \cdot 1}{s^3}\Bigg) = \frac{3\cdot 2 \cdot 1}{s^4} = \frac{3!}{s^4}$$
EJERCICIO 1
Evaluar $L\{t^n\}$
Tip. Según lo que hemos hecho anteriormente se puede hacer una deducción sencilla utilizando la inducción matemática.
EJEMPLO 5
Evaluar $L\{e^{t+7}\}$
SOLUCIÓN 5$$L\{e^{t + 7}\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}(e^{t + 7})dt = \int_{0}^{\infty}e^7 e^te^{-st}dt =$$
$$= e^7 \int_{0}^{\infty}e^{(1 - s)t}dt = \frac{e^7}{1 - s}e^{(1 - s)t}\Bigg|_{0}^{\infty} = 0 - \frac{e^7}{1 - s} = \frac{e^7}{s - 1} \qquad s > 1$$
CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
La integral que define la transformada de Laplace no tiene necesariamente que converger. Las condiciones suficiente que garantizan la existencia de de $L\{f(t)\}$ son que:
Una función continua por tramos en $[0, \infty)$ es tal que en cualquier intervalo $0 \leq a \leq t \leq b$, hay un número finito de puntos $t_{k}$, $ k = 1, 2, ..., n\quad si \,\, (t_{k - 1} < t_k)$ en los que $f$ tiene discontinuidades finitas y es continua en cada intervalo abierto $(t_{k - 1}, t_k)$. Esto se puede ver en la figura 1.
El concepto de orden exponencial se define de la siguiente manera.
DEFINICIÓN DE ORDEN EXPONENCIAL
se dice que $f$ es de orden exponencial c si existen constantes c, $M > 0$ y $T > 0$ tales que $|f(t)| \leq Me^{ct}$ para toda $t > T$
Si $f$ es una función creciente, entonces la condición $|f(t)| \leq Me^{ct}, t > T$ establece que la gráfica de $f$ en el intervalo $(T, \infty)$ no crece más rápido que la gráfica de la función exponencial $M e^{ct}$, donde $c$ es una constante positiva. Ver la figura 2
Como un ejemplo de lo anterior tenemos las funcione $f(t) = t$, $f(t) = e^{-t} \,\,$ y $\,\,\, f(t) = 2cos t$ son de orden exponencial $c = 1$ para $t > 0$ ya que se tiene respectivamente:
$$|t| \leq e^t, \quad |e^{-t}| \leq e^t \quad y \quad |2cos t| \leq 2 e^t$$
La transformada de Laplace es muy útil para funciones por tramos como se ve en los siguientes ejemplos.
Se muestra que la función es continua por tramos y de orden exponencial para $t > 0$. Ya que la función está definida en dos tramos, $L\{f(t)\}$ se expresa como la suma de dos integrales:
$$L\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt = \int_{0}^{3}e^{-st}(0)dt + \int_{3}^{\infty}e^{-st}(2)dt =$$
$$= 0 + \frac{2}{- s}\bigg[ e^{-st}\bigg]_{3}^{\infty} = \frac{2 e^{-3s}}{s} \qquad para \,\,\,s > 0$$
Así, nuestra función expresada matemáticamente es:
$$f(t) = \Bigg\{_{2t - 2\quad t \,\,> \,\,1}^{0 \quad \quad 0\,\,< \,\,t \,\, <\,\, 1}$$
Ahora procedemos a resolverla
$$L\{f(t) \} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t) = \int_{0}^{1}e^{-st}(0)dt + \int_{1}^{\infty}e^{-st}(2t - 2)dt =$$
$$= 2 \int_{1}^{\infty}e^{-st}(t - 1)dt = $$
Esta integral se resolverá por partes. Nota, para no dividirla en una integral por partes y una normal, procederemos ha hacer solo una integral
$u = t - 1\qquad dv = e^{-st}dt$
$du = dt \qquad v = - \frac{1}{s}e^{-st}$
$$L\{f(t)\} = 2 \bigg(- \frac{t - 1}{s}e^{-st}\bigg|_{1}^{\infty} - \big(-\frac{1}{s}\big)\int_{1}^{\infty}e^{-st}dt\Bigg) =$$
$$= 2\bigg[- \frac{\infty - 1}{s}e^{-s(\infty)} - \bigg( - \frac{1 - 1}{s}e^{-s(1)}\bigg) + \frac{1}{s}\int_{1}^{\infty}e^{-st}\bigg] =$$
Como los dos primeros términos dentro del corchete son ceros, nos queda:
$$L\{f(t)\} = \frac{2}{s}\int_{1}^{\infty}e^{-st}dt = -\frac{2}{s^2}e^{-st}\Bigg|_{1}^{\infty} = -\frac{2}{s^2}\big( 0 - e^{-s}\big) = \frac{2}{s^2}e^{-s}\quad \,\,\, s > 0$$
NOTA: Es importante aclarar que $s$ es de tipo complejo. Recuérdese que un número complejo tiene una parte real y una imaginaria. Aqui en este curso consideraremos a $s$ como real.
El método de la transformada de Laplace es muy utilizado a la hora de resolver ecuaciones diferenciales lineales ya que nos permite convertir muchas funciones comunes como las senoidales, las senoidales amortiguadas y las exponenciales en funciones algebraicas.
- $f(t)$ sea continua por tramos en $[0, \infty)$
- Que $f$ sea de orden exponencial para $t > T$
Una función continua por tramos en $[0, \infty)$ es tal que en cualquier intervalo $0 \leq a \leq t \leq b$, hay un número finito de puntos $t_{k}$, $ k = 1, 2, ..., n\quad si \,\, (t_{k - 1} < t_k)$ en los que $f$ tiene discontinuidades finitas y es continua en cada intervalo abierto $(t_{k - 1}, t_k)$. Esto se puede ver en la figura 1.
Figura 1. función continua por tramos
El concepto de orden exponencial se define de la siguiente manera.
DEFINICIÓN DE ORDEN EXPONENCIAL
se dice que $f$ es de orden exponencial c si existen constantes c, $M > 0$ y $T > 0$ tales que $|f(t)| \leq Me^{ct}$ para toda $t > T$
Si $f$ es una función creciente, entonces la condición $|f(t)| \leq Me^{ct}, t > T$ establece que la gráfica de $f$ en el intervalo $(T, \infty)$ no crece más rápido que la gráfica de la función exponencial $M e^{ct}$, donde $c$ es una constante positiva. Ver la figura 2
Figura 2. La función $f$ es de orden exponencial c.
Como un ejemplo de lo anterior tenemos las funcione $f(t) = t$, $f(t) = e^{-t} \,\,$ y $\,\,\, f(t) = 2cos t$ son de orden exponencial $c = 1$ para $t > 0$ ya que se tiene respectivamente:
$$|t| \leq e^t, \quad |e^{-t}| \leq e^t \quad y \quad |2cos t| \leq 2 e^t$$
Figura 3. tres funciones de orden exponencial c = 1
La transformada de Laplace es muy útil para funciones por tramos como se ve en los siguientes ejemplos.
EJEMPLO 6
Evaluar $L\{f(t)\}$ donde $f(t) = \Bigg\{_{2, \quad t \,\, \geq \,\, 3}^{0, \quad 0 \,\, \leq t \,\, < 3}$
SOLUCIÓN 6
Como ya les he comentado, siempre que sea posible, hagan una gráfica de la función o proceso de lo que estén haciendo, ya que esto facilitará el proceso de comprensión del mismo y su resolución.
A continuación se muestra la gráfica de la función
SOLUCIÓN 6
Como ya les he comentado, siempre que sea posible, hagan una gráfica de la función o proceso de lo que estén haciendo, ya que esto facilitará el proceso de comprensión del mismo y su resolución.
A continuación se muestra la gráfica de la función
Se muestra que la función es continua por tramos y de orden exponencial para $t > 0$. Ya que la función está definida en dos tramos, $L\{f(t)\}$ se expresa como la suma de dos integrales:
$$L\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt = \int_{0}^{3}e^{-st}(0)dt + \int_{3}^{\infty}e^{-st}(2)dt =$$
$$= 0 + \frac{2}{- s}\bigg[ e^{-st}\bigg]_{3}^{\infty} = \frac{2 e^{-3s}}{s} \qquad para \,\,\,s > 0$$
EJEMPLO 7
Evaluar $L\{f(t)\}$ donde $f(t)$ está dada por:
SOLUCIÓN 7
Dado que aquí solo tenemos la función de manera gráfica, tenemos que obtener a partir de ella su expresión matemática, cosa que no es nada complicado.
En el intervalo de $0 < t < 1$, la función $f(t) = 0$
En el intervalo de $t >\infty$, la función es una recta la cual podemos obtener fácilmente de nuestros conocimientos de geometría analítica usando la formula:
$$(y - y_0) = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0)$$
Donde $(x_0, y_0) = (1, 0)$ y $(x_1, y_1)= (2, 2)$. Por supuesto que aluien de ustedes pueden intercambiar la notación y el resultado será.
Y, ahora aplicando la ecuación anterior tendremos:
$$(y - 0) = \frac{2 - 0}{2 - 1}(x - 1)$$
$$ y = 2x - 2$$Dado que aquí solo tenemos la función de manera gráfica, tenemos que obtener a partir de ella su expresión matemática, cosa que no es nada complicado.
En el intervalo de $0 < t < 1$, la función $f(t) = 0$
En el intervalo de $t >\infty$, la función es una recta la cual podemos obtener fácilmente de nuestros conocimientos de geometría analítica usando la formula:
$$(y - y_0) = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0)$$
Donde $(x_0, y_0) = (1, 0)$ y $(x_1, y_1)= (2, 2)$. Por supuesto que aluien de ustedes pueden intercambiar la notación y el resultado será.
Y, ahora aplicando la ecuación anterior tendremos:
$$(y - 0) = \frac{2 - 0}{2 - 1}(x - 1)$$
Así, nuestra función expresada matemáticamente es:
$$f(t) = \Bigg\{_{2t - 2\quad t \,\,> \,\,1}^{0 \quad \quad 0\,\,< \,\,t \,\, <\,\, 1}$$
Ahora procedemos a resolverla
$$L\{f(t) \} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t) = \int_{0}^{1}e^{-st}(0)dt + \int_{1}^{\infty}e^{-st}(2t - 2)dt =$$
$$= 2 \int_{1}^{\infty}e^{-st}(t - 1)dt = $$
Esta integral se resolverá por partes. Nota, para no dividirla en una integral por partes y una normal, procederemos ha hacer solo una integral
$u = t - 1\qquad dv = e^{-st}dt$
$du = dt \qquad v = - \frac{1}{s}e^{-st}$
$$L\{f(t)\} = 2 \bigg(- \frac{t - 1}{s}e^{-st}\bigg|_{1}^{\infty} - \big(-\frac{1}{s}\big)\int_{1}^{\infty}e^{-st}dt\Bigg) =$$
$$= 2\bigg[- \frac{\infty - 1}{s}e^{-s(\infty)} - \bigg( - \frac{1 - 1}{s}e^{-s(1)}\bigg) + \frac{1}{s}\int_{1}^{\infty}e^{-st}\bigg] =$$
Como los dos primeros términos dentro del corchete son ceros, nos queda:
$$L\{f(t)\} = \frac{2}{s}\int_{1}^{\infty}e^{-st}dt = -\frac{2}{s^2}e^{-st}\Bigg|_{1}^{\infty} = -\frac{2}{s^2}\big( 0 - e^{-s}\big) = \frac{2}{s^2}e^{-s}\quad \,\,\, s > 0$$
NOTA: Es importante aclarar que $s$ es de tipo complejo. Recuérdese que un número complejo tiene una parte real y una imaginaria. Aqui en este curso consideraremos a $s$ como real.
El método de la transformada de Laplace es muy utilizado a la hora de resolver ecuaciones diferenciales lineales ya que nos permite convertir muchas funciones comunes como las senoidales, las senoidales amortiguadas y las exponenciales en funciones algebraicas.
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